L'asymptote de $x^3/(x^2-1)$

Stratégie : isoler la partie affine par l'algèbre. Pour cette fraction rationnelle, on n'a besoin d'aucun développement limité : on fait apparaître le dénominateur dans le numérateur, ce qui sépare d'un coup la partie affine — qui donnera l'asymptote — et un reste qui tend vers zéro.

L'écriture algébrique. On écrit directement $x^3=x\left(x^2-1\right)+x$, d'où, pour $|x|>1$ : $$f(x)=\frac{x\left(x^2-1\right)+x}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}.$$

L'asymptote. Le reste vérifie $\frac{x}{x^2-1}\sim \frac{1}{x}\to 0$ quand $x\to \pm \infty$. Donc $$f(x)-x⟶0\text{en }+\infty \text{ comme en }-\infty :$$ la droite $y=x$ est asymptote aux deux branches.

La position relative est donnée par le signe du reste $\frac{x}{x^2-1}$, le dénominateur étant positif dès que $|x|>1$ :

domaine	signe de $x$	signe de $f(x)-x$	position de la courbe
$x>1$	$+$	$+$	au-dessus de l'asymptote
$x<-1$	$-$	$-$	au-dessous de l'asymptote

⚠️ Le point délicat : une seule asymptote, deux positions. On conclut souvent d'un seul côté et on recopie pour l'autre. Ici la fonction est impaire, donc son graphe est symétrique par rapport à l'origine : la courbe est au-dessus à droite et nécessairement au-dessous à gauche. Le signe du reste doit être discuté sur chaque branche.

Contrôle numérique. En $x=10$ : $f(10)=\frac{1000}{99}=10,101$, et $10+\frac{10}{99}=10,101$ — la courbe est au-dessus de la droite $y=x$, qui vaut $10$. En $x=-10$ : $f(-10)=-10,101$, au-dessous de $-10$.

Ce que l'exercice installe. Pour une fraction rationnelle, il suffit souvent de faire apparaître le dénominateur dans le numérateur : l'asymptote se lit sur la partie affine ainsi isolée et la position sur le signe du reste : aucun développement limité n'est nécessaire. Le développement limité, lui, reprend la main dès que la fonction n'est plus rationnelle — une racine, une exponentielle — et l'on retrouve alors la forme $f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$, qui livre les mêmes deux renseignements.