L'embiellage : un DL par rapport à un petit paramètre

La stratégie. Le a) est une fermeture géométrique : une longueur imposée donne une équation, qu'on résout. Ensuite, on ne développe pas par rapport à l'angle, qui parcourt tout un tour, mais par rapport au petit paramètre $\lambda$, à $\theta$ fixé : c'est le développement limité en $0$ d'une composée, que le cours demande de savoir mener sur des exemples simples.

a) La fermeture. La condition $AB=L$ s'écrit $(x-r\cos \theta {)}^2+(0-r\sin \theta {)}^2=L^2$, soit $$(x-r\cos \theta {)}^2=L^2-r^2{\sin }^2\theta .$$ Le second membre vaut au moins $L^2-r^2>0$ : il y a deux solutions, $x=r\cos \theta \pm \sqrt{L^2-r^2{\sin }^2\theta }$, qui ne sont jamais égales. Laquelle est la bonne ? La quantité $x-r\cos \theta$ varie continûment avec le mouvement et ne s'annule jamais, puisque son carré est au moins $L^2-r^2$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle garde un signe constant. En $\theta =0$, les deux candidats valent $r+L>0$ et $r-L<0$ ; la condition $x>0$ impose le signe plus. D'où $$x(\theta )=r\cos \theta +\sqrt{L^2-r^2{\sin }^2\theta }=r\cos \theta +L\sqrt{1-{\lambda }^2{\sin }^2\theta },$$ en factorisant $L^2$ sous la racine, avec $\frac{r}{L}=\lambda$. C'est la loi entrée-sortie du mécanisme : l'angle de la manivelle en entrée, la position du piston en sortie.

b) Le développement en $\lambda$. Posons $s=\sin \theta$ et $u={\lambda }^2{s}^2$, qui tend vers $0$ avec $\lambda$ (et vaut $0$ si $s=0$, auquel cas tout est exact). Le développement usuel de $(1+y{)}^{\alpha }$, avec $\alpha =\frac{1}{2}$ et $y=-u$, donne, puisque $\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}=-\frac{1}{8}$, $$\sqrt{1-u}=1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+o(u^2).$$ On compose avec $u={\lambda }^2{s}^2$ : $u^2={\lambda }^4{s}^4$, et un $o(u^2)$ est un $o({\lambda }^4)$. Puis on multiplie par $L=\frac{r}{\lambda }$ : $$L\sqrt{1-{\lambda }^2{s}^2}=\frac{r}{\lambda }\left(1-\frac{{\lambda }^2{s}^2}{2}-\frac{{\lambda }^4{s}^4}{8}+o({\lambda }^4)\right)=L-\frac{r\lambda }{2}{s}^2-\frac{r{\lambda }^3}{8}{s}^4+o({\lambda }^3).$$ En ajoutant $r\cos \theta$, on obtient le développement annoncé.

Pourquoi l'ordre $2$ suffit. Deux effets se compensent. D'un côté, $u$ est d'ordre $2$ en $\lambda$ : chaque ordre en $u$ vaut deux ordres en $\lambda$, et le reste $o(u^2)$ est déjà un $o({\lambda }^4)$. De l'autre, le facteur $L=\frac{r}{\lambda }$ fait perdre un ordre. Bilan : $o({\lambda }^4)$ multiplié par $\frac{1}{\lambda }$ donne $o({\lambda }^3)$. On remarque aussi qu'il n'y a pas de terme en ${\lambda }^2$ : seules des puissances paires de $\lambda$ figurent sous la racine, et la division par $\lambda$ les rend toutes impaires.

c) L'harmonique 2. À l'ordre $1$ en $\lambda$ : $x(\theta )\approx L+r\cos \theta -\frac{r\lambda }{2}{\sin }^2\theta$. La linéarisation ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ donne $$-\frac{r\lambda }{2}{\sin }^2\theta =-\frac{r\lambda }{4}+\frac{r\lambda }{4}\cos 2\theta ,$$ d'où $$x(\theta )\approx L-\frac{r\lambda }{4}+r\left(\cos \theta +\frac{\lambda }{4}\cos 2\theta \right).$$ Avec $\theta =\omega t$, la position du piston est la somme d'une constante, d'une sinusoïde de pulsation $\omega$ et d'amplitude $r$, et d'une sinusoïde de pulsation $2\omega$ et d'amplitude $\frac{r\lambda }{4}$. Le mouvement est périodique mais pas sinusoïdal : il porte une harmonique 2, d'amplitude relative $\frac{\lambda }{4}$ par rapport au fondamental — $6,25\%$ pour $\lambda =\frac{1}{4}$. Si la bielle était infiniment longue ($\lambda \to 0$), le piston serait un oscillateur harmonique parfait ; c'est l'obliquité de la bielle qui crée l'harmonique.

d) L'accélération. On dérive deux fois par rapport au temps l'approximation du c), avec $\theta =\omega t$ : la constante disparaît, $r\cos \omega t$ donne $-r{\omega }^2\cos \omega t$, et $\frac{r\lambda }{4}\cos 2\omega t$ donne $-\frac{r\lambda }{4}(2\omega {)}^2\cos 2\omega t=-r\lambda {\omega }^2\cos 2\omega t$. D'où $$\ddot{x}\approx -r{\omega }^2\left(\cos \omega t+\lambda \cos 2\omega t\right).$$ L'harmonique 2, d'amplitude relative $\frac{\lambda }{4}$ sur la position, pèse quatre fois plus sur l'accélération : dériver deux fois multiplie par le carré de la pulsation.

La valeur exacte aux points morts. Par dérivation d'une composée, $\dot{x}=\omega x^{\prime }(\theta )$ et $\ddot{x}={\omega }^2{x}^{\prime \prime }(\theta )$, puisque $\omega$ est constante. Posons $S(\theta )=L^2-r^2{\sin }^2\theta$, de sorte que $x=r\cos \theta +\sqrt{S}$, avec $S^{\prime }=-r^2\sin 2\theta$ et $S^{\prime \prime }=-2r^2\cos 2\theta$. Alors $${\left(\sqrt{S}\right)}^{\prime }=\frac{S^{\prime }}{2\sqrt{S}},{\left(\sqrt{S}\right)}^{\prime \prime }=\frac{S^{\prime \prime }}{2\sqrt{S}}-\frac{S^{\prime 2}}{4S\sqrt{S}}.$$ En $\theta =0$ et en $\theta =\pi$ : $S^{\prime }=0$, $S=L^2$ et $S^{\prime \prime }=-2r^2$, donc ${\left(\sqrt{S}\right)}^{\prime \prime }=-\frac{r^2}{L}$. Il vient $$x^{\prime \prime }(0)=-r-\frac{r^2}{L}=-r(1+\lambda ),x^{\prime \prime }(\pi )=r-\frac{r^2}{L}=r(1-\lambda ).$$ L'accélération exacte vaut donc $-r{\omega }^2(1+\lambda )$ au point mort haut et $r{\omega }^2(1-\lambda )$ au point mort bas. L'approximation donne, en $\omega t=0$, $-r{\omega }^2(1+\lambda )$ et, en $\omega t=\pi$, $-r{\omega }^2(-1+\lambda )=r{\omega }^2(1-\lambda )$ : exactement les mêmes valeurs. Le moteur accélère plus fort d'un côté que de l'autre, dans le rapport $\frac{1+\lambda }{1-\lambda }$, soit $\frac{5}{3}$ pour $\lambda =\frac{1}{4}$.

e) L'ordre de grandeur de l'erreur. L'approximation du c) est la troncature d'ordre $1$ du b). Comme il n'y a pas de terme en ${\lambda }^2$, le premier terme négligé est $-\frac{r{\lambda }^3}{8}{\sin }^4\theta$, de valeur absolue au plus $\frac{r{\lambda }^3}{8}$. Pour $\lambda =\frac{1}{4}$, $\frac{{\lambda }^3}{8}=\frac{1}{512}\approx 0,00195$ : l'écart est d'environ $0,2\%$ de $r$. Contrôle numérique, pour $r=1$ et $L=4$ : l'écart maximal sur un tour vaut $0,00202r$, à comparer à $0,00195r$ — la différence vient des termes d'ordre $5$. Pour une manivelle de cinq centimètres, l'erreur est d'un dixième de millimètre : l'approximation à l'ordre $1$ est un modèle d'ingénieur fiable, et c'est l'absence du terme d'ordre $2$ qui la rend si bonne.

Le point délicat. On développe par rapport à $\lambda$, à $\theta$ fixé, et non par rapport à $\theta$. Et le facteur $L=\frac{r}{\lambda }$, qui tend vers l'infini, fait perdre un ordre : il faut le compter avant de choisir l'ordre du développement de la racine.

Ce que l'exercice installe. Un développement limité n'est pas réservé à la variable « naturelle » : on développe par rapport au paramètre qui est petit — ici le rapport des longueurs. En sciences industrielles, c'est la démarche qui linéarise une loi entrée-sortie issue d'une fermeture géométrique, et qui dit ce que coûte la linéarisation. En physique, c'est l'apparition d'harmoniques : un mécanisme non linéaire entraîné sinusoïdalement produit un signal périodique non sinusoïdal, dont le développement donne le spectre. Les motoristes le savent : l'harmonique 2 de l'embiellage engendre des vibrations à deux fois la fréquence de rotation, qu'on compense dans certains moteurs par des arbres d'équilibrage tournant deux fois plus vite que le vilebrequin.