mathématiques (PTSI) · Chapitre 8 · Exercice de TD

L'embiellage : un DL par rapport à un petit paramètre

Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités · niveau 2

Énoncé

Dans un moteur (ou un compresseur), une manivelle $O A$ de longueur $r$ tourne autour de $O$ ; une bielle $A B$ de longueur $L > r$ relie $A$ au pied $B$ du piston, qui coulisse sur l'axe $(O x)$ . On repère la manivelle par l'angle $θ = (, O A)$ et le piston par son abscisse $x = O B > 0$ . On pose $λ = \frac{r}{L} \in] 0, 1 [$ .

a) (Fermeture géométrique.) En écrivant $A = (r cos θ, r sin θ)$ , $B = (x, 0)$ et $A B = L$ , montrer que $x (θ) = r cos θ + L^{2} - r^{2} sin^{2} θ = r cos θ + L 1 - λ^{2} sin^{2} θ .$

b) On fixe $r$ et $θ$ , et l'on fait tendre $λ$ vers $0$ (bielle longue devant la manivelle ; $L = \frac{r}{λ}$ ). À l'aide du $DL_{2} (0)$ de $u \mapsto 1 - u$ , montrer que $x (θ) = L + r cos θ - \frac{r λ}{2} sin^{2} θ - \frac{r λ ^{3}}{8} sin^{4} θ + o (λ^{3}) .$ Pourquoi le développement de $1 - u$ à l'ordre $2$ suffit-il pour obtenir l'ordre $3$ en $λ$ ?

c) On garde les termes jusqu'à l'ordre $1$ en $λ$ . Linéariser $sin^{2} θ$ et en déduire l'approximation $x (θ) \approx L - \frac{r λ}{4} + r (cos θ + \frac{λ}{4} cos 2 θ) .$ Interpréter : si la manivelle tourne à vitesse constante, $θ = ω t$ , le mouvement du piston n'est pas sinusoïdal ; quelle est l'amplitude relative de l'harmonique de pulsation $2 ω$ ?

d) Toujours pour $θ = ω t$ , en déduire l'approximation de l'accélération du piston : $x ¨ \approx - r ω^{2} (cos ω t + λ cos 2 ω t)$ . Calculer, à partir de l'expression exacte du a), l'accélération aux points morts ( $θ = 0$ et $θ = π$ ) et constater que l'approximation y est exacte : $- r ω^{2} (1 + λ)$ et $r ω^{2} (1 - λ)$ .

e) Pour $λ = \frac{1}{4}$ (bielle quatre fois plus longue que la manivelle), l'approximation du c) s'écarte de $x (θ)$ d'au plus environ $0, 2 %$ de $r$ : quel terme du b) explique cet ordre de grandeur ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Le a) est une fermeture géométrique : une longueur imposée donne une équation, qu'on résout. Ensuite, on ne développe pas par rapport à l'angle, qui parcourt tout un tour, mais par rapport au petit paramètre $λ$ , à $θ$ fixé : c'est le développement limité en $0$ d'une composée, que le cours demande de savoir mener sur des exemples simples.

a) La fermeture. La condition $A B = L$ s'écrit $(x - r cos θ)^{2} + (0 - r sin θ)^{2} = L^{2}$ , soit $(x - r cos θ)^{2} = L^{2} - r^{2} sin^{2} θ .$ Le second membre vaut au moins $L^{2} - r^{2} > 0$ : il y a deux solutions, $x = r cos θ \pm L^{2} - r^{2} sin^{2} θ$ , qui ne sont jamais égales. Laquelle est la bonne ? La quantité $x - r cos θ$ varie continûment avec le mouvement et ne s'annule jamais, puisque son carré est au moins $L^{2} - r^{2}$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle garde un signe constant. En $θ = 0$ , les deux candidats valent $r + L > 0$ et $r - L < 0$ ; la condition $x > 0$ impose le signe plus. D'où $x (θ) = r cos θ + L^{2} - r^{2} sin^{2} θ = r cos θ + L 1 - λ^{2} sin^{2} θ,$ en factorisant $L^{2}$ sous la racine, avec $\frac{r}{L} = λ$ . C'est la loi entrée-sortie du mécanisme : l'angle de la manivelle en entrée, la position du piston en sortie.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai écrit $1 - u = 1 - \frac{u}{2} - \frac{u ^{2}}{8} + o (u^{2})$ avec $u = λ^{2} sin^{2} θ$ . Mais on veut un résultat à l'ordre $3$ en $λ$ , et je crains que l'ordre $2$ en $u$ ne suffise pas.

Compare les ordres : avec $u = λ^{2} sin^{2} θ$ et $θ$ fixé, à quel ordre en $λ$ correspond un reste $o (u^{2})$ ?

Élève

C'est un $o (λ^{4})$ , puisque $sin θ$ est fixé : j'ai donc de la marge. Mais je ne vois pas bien quel rôle joue $L$ dans le bilan des ordres.

Écris $L$ en fonction de $r$ et de $λ$ : que deviennent chaque terme du développement et le reste une fois multipliés par $L$ ? Et pourquoi n'apparaît-il aucun terme en $λ^{2}$ dans le résultat ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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