L'erreur de la méthode d'Euler est en $1/n$

La stratégie. Une puissance dont la base et l'exposant varient ensemble ne se développe pas telle quelle — c'est la forme « un puissance infini ». On repasse par l'exponentielle, on développe l'exposant à l'ordre voulu, on sort la partie qui ne tend pas vers $0$, puis on compose. Et l'on travaille sur une fonction de la variable $t$, en $0$ : le développement limité est l'outil du cours ; on le compose ensuite avec la suite $t=\frac{1}{n}$, qui tend vers $0$, ce que le cours déclare parfaitement licite.

a) Le développement de $\phi$. On veut un résultat à $o(t^2)$ près, et la division par $t$ abaisse l'ordre d'un cran : il faut le logarithme à l'ordre $3$ en $xt\to 0$ : $$\frac{\ln (1+xt)}{t}=\frac{1}{t}\left(xt-\frac{x^2{t}^2}{2}+\frac{x^3{t}^3}{3}+o(t^3)\right)=x-\frac{x^2}{2}t+\frac{x^3}{3}{t}^2+o(t^2).$$ L'exposant tend vers $x$, pas vers $0$ : on factorise $e^x$ avant de développer. Avec $w=-\frac{x^2}{2}t+\frac{x^3}{3}{t}^2+o(t^2)\to 0$, on a $e^w=1+w+\frac{w^2}{2}+o(w^2)$, où $w^2=\frac{x^4}{4}{t}^2+o(t^2)$ et où $o(w^2)$ est un $o(t^2)$, puisque $w=O(t)$. Donc $$\phi (t)=e^x\left(1-\frac{x^2}{2}t+\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8}\right)t^2+o(t^2)\right),$$ et $\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8}=\frac{8x^3+3x^4}{24}$. Pour $x=1$, le coefficient vaut $\frac{11}{24}$ : $(1+t{)}^{1/t}=e\left(1-\frac{t}{2}+\frac{11t^2}{24}+o(t^2)\right)$, des deux côtés de $0$ — rien n'a supposé $t>0$.

b) L'erreur d'Euler. Le schéma donne $y_{k+1}=(1+h)y_k$, donc $y_n={\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=\phi \left(\frac{1}{n}\right)$ dès que $n>|x|$. Composons le développement du a) avec la suite $\frac{1}{n}\to 0$ : $$y_n=e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{c}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right),c=\frac{8x^3+3x^4}{24}.$$ Donc $e^x-y_n=\frac{x^2{e}^x}{2n}-\frac{c{e}^x}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Pour $x\ne 0$, le premier terme n'est pas nul, et les suivants lui sont négligeables : par la relation « $v+o(v)$ est équivalent à $v$ », $$e^x-y_n\sim \frac{x^2{e}^x}{2n}.$$ La méthode d'Euler est d'ordre $1$ : diviser le pas par deux divise l'erreur par deux, et gagner une décimale coûte dix fois plus de pas. Pour $x=1$, l'erreur est équivalente à $\frac{e}{2n}$ ; elle passe sous $10^{-6}$ pour $n$ de l'ordre de $\frac{e}{2}\cdot 10^6\approx 1,36$ million, et le calcul exact donne le plus petit rang : $n=1359140$. C'est la lenteur de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ observée au premier semestre, désormais expliquée et chiffrée ; et le signe de l'erreur, positif, dit que la suite approche $e$ par en dessous.

c) Tuer le terme en $\frac{1}{n}$. Aux rangs $n$ et $2n$ : $$y_n=e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{c}{n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ et $$y_{2n}=e^x\left(1-\frac{x^2}{4n}+\frac{c}{4n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Dans $2y_{2n}-y_n$, les termes en $\frac{1}{n}$ se détruisent, et il reste $$2y_{2n}-y_n=e^x-\frac{c{e}^x}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)=e^x+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Pour $x=1$, $c=\frac{11}{24}$ et $e-(2y_{2n}-y_n)\sim \frac{11e}{48n^2}$. Numériquement, $e-y_{10}\approx 0,1245$, tandis que $e-(2y_{20}-y_{10})\approx 0,0054$ : vingt-trois fois moins, pour deux calculs au lieu d'un. Pour $10^{-6}$, la condition $\frac{11e}{48n^2}<10^{-6}$ donne $n\approx 790$, et le calcul exact $n=789$ : au total $789+1578=2367$ pas d'Euler, contre plus d'un million.

Le point délicat. L'exposant tend vers $x$, pas vers $0$ : développer $e^{x+w}$ comme si l'exposant était petit est la faute. On sort $e^x$, et seul $e^w$ se développe — l'interdit du cours sur la composition par l'exponentielle, traité comme il faut. Et l'on compose un développement limité avec une suite qui tend vers $0$ : c'est ce qui transporte les outils des fonctions aux suites.

Ce que l'exercice installe. Un équivalent de l'erreur est la mesure de la vitesse de convergence : « $y_n\to e$ » ne permet pas de choisir $n$, « $e-y_n\sim \frac{e}{2n}$ » le permet — et connaître le terme d'erreur, c'est pouvoir l'éliminer. Le TD 5 avait étudié la stabilité du schéma d'Euler ; on en mesure ici l'erreur. C'est le schéma que la physique et les sciences industrielles mettent en œuvre numériquement dès la première année pour intégrer une équation différentielle ; l'extrapolation de Richardson est l'idée des méthodes d'ordre supérieur, qu'emploient les logiciels de simulation.