Le maximum de $\ln x/x$, et ${\pi }^e<e^{\pi }$

Stratégie : une seule fonction, $x\mapsto \frac{\ln x}{x}$, et son maximum décide de tout. L'inégalité finale compare deux nombres qu'aucune manipulation algébrique ne sépare ; on la ramène à une comparaison de valeurs d'une même fonction, dont l'étude est élémentaire.

1) Le point critique et l'ordre 2. La fonction $f:x\mapsto \frac{\ln x}{x}$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\left]0,+\infty \right[$, avec

$$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}.$$

La dérivée $f^{\prime }$ s'annule si et seulement si $\ln x=1$, c'est-à-dire en $x=e$ et nulle part ailleurs. En ce point,

$$f^{\prime \prime }(e)=\frac{2-3}{e^3}=-\frac{1}{e^3}<0:$$

la condition suffisante à l'ordre $2$ donne un maximum local en $e$.

2) Il est même global. Le signe de $f^{\prime }$ est celui de $1-\ln x$ : positif sur $\left]0,e\right[$, négatif sur $\left]e,+\infty \right[$. La fonction croît puis décroît, donc

$$\forall x>0,f(x)\le f(e)=\frac{1}{e},$$

avec égalité si et seulement si $x=e$, la stricte monotonie de part et d'autre interdisant à la valeur $\frac{1}{e}$ d'être atteinte ailleurs.

3) Le développement en $e$ et la position de la courbe. Taylor-Young au point $a=e$, avec $f(e)=\frac{1}{e}$, $f^{\prime }(e)=0$ et $f^{\prime \prime }(e)=-\frac{1}{e^3}$ :

$$f(e+h)=\frac{1}{e}-\frac{h^2}{2e^3}+o\left(h^2\right).$$

La tangente en $e$ est donc l'horizontale $y=\frac{1}{e}$ — c'est le propre d'un point critique —, et

$$f(e+h)-\frac{1}{e}\underset{h\to 0}{\sim }-\frac{h^2}{2e^3}<0(h\ne 0):$$

la courbe passe au-dessous de sa tangente au voisinage de $e$, ce qui est la lecture graphique du maximum.

4) La conséquence : ${\pi }^e<e^{\pi }$. Appliquons l'inégalité stricte au point $x=\pi$, qui diffère de $e$ :

$$\frac{\ln \pi }{\pi }<\frac{1}{e}⟺e\ln \pi <\pi ⟺\ln \left({\pi }^e\right)<\pi =\ln \left(e^{\pi }\right),$$

et la stricte croissance de l'exponentielle donne enfin

$$\boxed{{\pi }^e<e^{\pi }.}$$

⚠️ Le point délicat est le sens de la multiplication. On multiplie l'inégalité par $\pi e$, qui est strictement positif : le sens est conservé. Multiplier par une quantité de signe inconnu retournerait l'inégalité une fois sur deux, et l'on aurait ici exactement la conclusion inverse. Second point : c'est bien l'inégalité stricte qu'il faut, donc le fait que $e$ soit le seul point où le maximum est atteint.

Contrôle numérique. $\frac{\ln \pi }{\pi }=0,364379$ contre $\frac{1}{e}=0,367879$ : l'inégalité est vérifiée, de peu. Et directement : ${\pi }^e=22,459$ contre $e^{\pi }=23,141$. ✔ Contrôle du développement : pour $h=0,2$, $f(e+0,2)=0,3669951$ et l'approximation $\frac{1}{e}-\frac{0,04}{2e^3}=0,3668837$ — deux décimales de plus que la seule valeur $\frac{1}{e}$. ✔

Ce que l'exercice installe. Comparer $a^b$ et $b^a$, c'est comparer $\frac{\ln a}{a}$ et $\frac{\ln b}{b}$ : on prend le logarithme, on divise par $ab$, et une inégalité entre deux nombres devient une propriété d'une fonction. Le même raisonnement donne, pour tout $x>0$ différent de $e$, l'inégalité $x^e<e^x$ — dont le cas $x=\pi$ n'est qu'une illustration.