Prévoir l'ordre : deux infinis qui se compensent

La méthode du cours, en une phrase. Le programme demande de « privilégier la factorisation par le terme prépondérant pour prévoir l'ordre d'un développement ». Chaque question s'ouvre donc par un décompte : quel est le terme prépondérant du dénominateur, combien d'ordres la simplification va-t-elle coûter ? Le calcul ne vient qu'ensuite.

a) « Infini moins infini ». Chacun des deux termes tend vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée, que ni les équivalents ni les limites ne savent trancher. On en fait une seule fraction : $$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x-x^2}{x^2{\sin }^{2}x}.$$ Le décompte. Le dénominateur $x^2{\sin }^{2}x$ est équivalent à $x^4$, puisque $\sin x\sim x$. Il faut donc le numérateur à l'ordre $4$. Or ses termes en $x^2$ se détruisent : c'est précisément pour cela qu'il faut pousser.

Le calcul. De $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$ on tire, en élevant au carré et en tronquant à l'ordre $4$ : $${\sin }^{2}x=x^2-2\cdot x\cdot \frac{x^3}{6}+o(x^4)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4),$$ donc ${\sin }^{2}x-x^2\sim -\frac{x^4}{3}$, et le quotient d'équivalents donne $$\frac{{\sin }^{2}x-x^2}{x^2{\sin }^{2}x}\sim \frac{-\frac{x^4}{3}}{x^4}=-\frac{1}{3},\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)=-\frac{1}{3}.$$ Contrôle : en $x=0,1$, la quantité vaut $-0,3340$. Le signe est la traduction de $|\sin x|<|x|$ pour $x\ne 0$.

b) Deux développements qui se détruisent au premier ordre. Au numérateur, $\sin x$ et $\tan x$ sont tous deux équivalents à $x$ : leur différence n'est pas équivalente à $0$, elle demande l'ordre suivant. Le dénominateur étant $x^3$, il faut les deux fonctions à l'ordre $3$ — pour la tangente, c'est l'ordre exigible du programme : $$\sin x-\tan x=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\left(x+\frac{x^3}{3}\right)+o(x^3)=-\frac{x^3}{2}+o(x^3).$$ Donc $\frac{\sin x-\tan x}{x^3}\to -\frac{1}{2}$ (en $x=0,1$ : $-0,5013$). Écrire « $\sin x\sim x$ et $\tan x\sim x$, donc $\sin x-\tan x\sim 0$ » serait additionner des équivalents — le premier interdit du cours — et d'ailleurs « équivalent à zéro » n'a pas de sens.

c) Un quotient où rien ne s'annule… après factorisation. Numérateur et dénominateur s'annulent en $0$, tous deux équivalents à $x$. On factorise $x$ en haut et en bas : $$\frac{\ln (1+x)}{\sin x}=\frac{x\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+o(x^3)\right)}{x\left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^3)\right)}.$$ Le décompte. Pour avoir chaque parenthèse à l'ordre $3$, il faut chaque fonction à l'ordre $4$ : la factorisation par $x$ coûte un ordre, en haut comme en bas. Pour $\ln (1+x)$, cela veut dire aller jusqu'au terme $-\frac{x^4}{4}$ ; pour $\sin x$, l'ordre $4$ est gratuit, puisque $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$ (le coefficient de $x^4$ est nul, par imparité).

Le calcul. L'inverse du dénominateur : avec $w=\frac{x^2}{6}+o(x^3)\to 0$, $\frac{1}{1-w}=1+w+o(w)=1+\frac{x^2}{6}+o(x^3)$, car $w^2$ est d'ordre $4$. Le produit tronqué à l'ordre $3$ : $$\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}\right)\left(1+\frac{x^2}{6}\right)=1-\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)x^2+\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\right)x^3+o(x^3),$$ soit $$\frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$ Contrôle : en $x=0,1$, la fonction vaut $0,954692$ et le développement $0,954667$, un écart de l'ordre de $x^4$. Qui aurait développé $\ln (1+x)$ à l'ordre $3$ seulement aurait obtenu un coefficient de $x^3$ faux, sans aucun signal d'alerte.

d) Le prolongement et sa tangente. On réduit : $f(x)=\frac{x-\sin x}{x\sin x}$ pour $x\ne 0$. Le décompte. Le dénominateur est équivalent à $x^2$ : pour obtenir le quotient à l'ordre $3$, il faut le numérateur à l'ordre $5$, donc $\sin x$ à l'ordre $5$. Deux ordres de plus que le résultat cherché — c'est le prix de la division par $x^2$.

Le calcul. $x-\sin x=\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}+o(x^6)$ et $x\sin x=x^2\left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^3)\right)$, d'où, pour $x\ne 0$, $$f(x)=x\left(\frac{1}{6}-\frac{x^2}{120}+o(x^3)\right)\left(1+\frac{x^2}{6}+o(x^3)\right)=x\left(\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{36}-\frac{1}{120}\right)x^2+o(x^3)\right).$$ Comme $\frac{1}{36}-\frac{1}{120}=\frac{10-3}{360}=\frac{7}{360}$ : $$f(x)=\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}+o(x^4),$$ et ce développement vaut aussi en $0$, où $f(0)=0$. Le reste est en $o(x^4)$ parce que $f$ est impaire.

La lecture. $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_1(0)$, $f(x)=0+\frac{x}{6}+o(x)$ : par la caractérisation du cours, elle est dérivable en $0$, avec $f^{\prime }(0)=\frac{1}{6}$, et sa tangente en $0$ est la droite $y=\frac{x}{6}$. L'écart $f(x)-\frac{x}{6}$ est équivalent à $\frac{7x^3}{360}$, qui a le signe de $x$ : la courbe est au-dessus de sa tangente à droite de $0$, au-dessous à gauche — elle la traverse, c'est un point d'inflexion, comme l'annonce l'exposant impair. Contrôle : en $x=0,1$, $f(x)=0,01668613$, contre $0,01668611$ pour les deux termes.

Le point délicat. L'ordre à prévoir n'est pas l'ordre demandé : on ajoute ce que coûtent les factorisations et les simplifications. Le dénominateur dicte la règle : s'il est équivalent à $x^p$, le numérateur doit être connu à l'ordre (ordre voulu $+p$).

Ce que l'exercice installe. Prévoir l'ordre est la première ligne du brouillon : on repère le terme prépondérant, on compte ce qu'il coûte, puis on développe — ni trop, ce qui noie le calcul, ni trop peu, ce qui le fausse sans prévenir. C'est aussi la discipline de tout calcul d'approximation en physique et en sciences industrielles : décider d'avance à quel ordre on travaille, et le tenir partout.