Primitivation d'un développement limité

Stratégie : primitiver au lieu de dériver. Calculer le développement de $\mathrm{Arctan}$ par Taylor-Young demanderait ses cinq premières dérivées, dont les expressions enflent très vite. Sa dérivée, en revanche, est une fraction que l'on développe d'un trait — et le cours autorise à primitiver un développement limité terme à terme.

1) Le développement de la dérivée. On a ${\mathrm{Arctan}}^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Dans le développement usuel $\frac{1}{1-t}=1+t+t^2+o\left(t^2\right)$, substituons $t=-x^2$, qui tend bien vers $0$ :

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4+o\left(x^4\right).$$

2) La primitivation. La fonction $\mathrm{Arctan}$ est une primitive de cette dérivée, et elle vaut $0$ en $0$. Le théorème de primitivation donne un développement à l'ordre $5$, c'est-à-dire un ordre de plus que celui de la dérivée :

$$\mathrm{Arctan}x=0+x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o\left(x^5\right).$$

⚠️ La constante d'intégration n'est pas un détail. Primitiver terme à terme ne détermine le développement qu'à une constante près : c'est la valeur $\mathrm{Arctan}(0)=0$ qui fixe le terme constant. L'oublier décalerait tout le développement d'une constante, et l'équivalent demandé ensuite serait faux.

3) L'équivalent de $\mathrm{Arctan}x-x$. Le terme $x$ étant retranché, le premier coefficient non nul restant est celui de $x^3$ :

$$\mathrm{Arctan}x-x=-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)\underset{0}{\sim }-\frac{x^3}{3}.$$

Ce que ce signe raconte. La tangente au graphe en $0$ est la droite $y=x$, et l'écart à cette tangente a le signe de $-\frac{x^3}{3}$ : négatif pour $x>0$, positif pour $x<0$. La puissance étant impaire, la courbe traverse sa tangente : le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion.

Contrôle numérique. En $x=0,3$ : $\mathrm{Arctan}(0,3)-0,3=-0,008543$, tandis que $-\frac{0,3^3}{3}=-0,009$. Même signe, même ordre de grandeur, et l'écart résiduel est de l'ordre de $\frac{0,3^5}{5}=0,00049$, exactement le terme suivant du développement. ✔

Ce que l'exercice installe. Deux développements usuels — celui de $\ln (1+x)$ et celui de $\mathrm{Arctan}$ — ne se retiennent pas : ils se retrouvent, en primitivant $\frac{1}{1+x}$ et $\frac{1}{1+x^2}$. Et la primitivation gagne un ordre, là où la dérivation en perd un : c'est toujours dans ce sens qu'il faut travailler.