Prolongement, dérivabilité et étude locale

Un $\mathrm{DL}$ fait tout le travail. De $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)$, on tire, pour $x\ne 0$ :

$$f(x)=1-\frac{x^2}{6}+o\left(x^2\right).$$

Prolongement : $f(x)\to 1$ quand $x\to 0$ : on prolonge par $f(0)=1$, et le développement ci-dessus est alors un ${\mathrm{DL}}_2(0)$ du prolongement.

Dérivabilité : le prolongement admet en particulier le ${\mathrm{DL}}_1(0)$ : $f(x)=1+0\cdot x+o(x)$. Par la caractérisation de la dérivabilité par l'existence d'un ${\mathrm{DL}}_1$, $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{\prime }(0)=0$.

Étude locale : la tangente en $0$ est l'horizontale $y=1$, et

$$f(x)-1=-\frac{x^2}{6}+o\left(x^2\right)\sim -\frac{x^2}{6}<0$$

au voisinage de $0$ (privé de $0$) : la courbe est sous sa tangente, et $f(x)<f(0)$ pour $x$ proche de $0$ non nul : $0$ est un maximum local (c'est la condition suffisante d'ordre 2, lue directement sur le $\mathrm{DL}$ : $a_1=0$ et $a_2=-\frac{1}{6}<0$).