Prolongement, dérivabilité et étude locale

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 8 — Analyse asymptotique · D. Études locales : tangentes, asymptotes, extremums

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{sin x}{x}$ pour $x \neq = 0$ . Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$ , que le prolongement est dérivable en $0$ , donner la tangente en $0$ au graphe et la position relative de la courbe, et montrer que le prolongement admet un maximum local en $0$ .

Corrigé

Un $DL$ fait tout le travail. De $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ , on tire, pour $x \neq = 0$ :

$f (x) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{2}) .$

Prolongement : $f (x) \to 1$ quand $x \to 0$ : on prolonge par $f (0) = 1$ , et le développement ci-dessus est alors un $DL_{2} (0)$ du prolongement.

Dérivabilité : le prolongement admet en particulier le $DL_{1} (0)$ : $f (x) = 1 + 0 \cdot x + o (x)$ . Par la caractérisation de la dérivabilité par l'existence d'un $DL_{1}$ , $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{'} (0) = 0$ .

Étude locale : la tangente en $0$ est l'horizontale $y = 1$ , et

$f (x) - 1 = - \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{2}) \sim - \frac{x ^{2}}{6} < 0$

au voisinage de $0$ (privé de $0$ ) : la courbe est sous sa tangente, et $f (x) < f (0)$ pour $x$ proche de $0$ non nul : $0$ est un maximum local (c'est la condition suffisante d'ordre 2, lue directement sur le $DL$ : $a_{1} = 0$ et $a_{2} = - \frac{1}{6} < 0$ ).

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.