Un équivalent mesure une erreur relative : composer par $\exp$ et par $\ln$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $f\sim g$ signifie $\frac{f}{g}\to 1$, c'est-à-dire $f=g+o(g)$ — un équivalent contrôle un rapport, jamais une différence. Et les règles du cours : produits, quotients, puissances d'équivalents ; deux fonctions équivalentes ont même signe et même limite. La stratégie est de ramener chaque question au rapport $\frac{f}{g}$.

a) Une différence n'est pas contrôlée. C'est faux en général : en $+\infty$, $f(x)=x^2+x$ et $g(x)=x^2$ vérifient $\frac{f(x)}{g(x)}=1+\frac{1}{x}\to 1$, donc $f\sim g$, alors que $f(x)-g(x)=x\to +\infty$. Deux fonctions équivalentes peuvent s'éloigner autant qu'on veut, pourvu qu'elles le fassent peu devant leur propre taille. C'est vrai si $g$ est bornée : si $|g|\le M$ au voisinage de $a$, $$|f-g|=|g|\left|\frac{f}{g}-1\right|\le M\left|\frac{f}{g}-1\right|⟶0.$$

b) Le critère exact pour l'exponentielle. On a $\frac{e^f}{e^g}=e^{f-g}$, donc $e^f\sim e^g$ signifie exactement $e^{f-g}\to 1$. Or $e^h\to 1$ si et seulement si $h\to 0$ : dans un sens par continuité de l'exponentielle en $0$, dans l'autre parce que $h=\ln \left(e^h\right)\to \ln 1=0$ par continuité du logarithme en $1$. D'où $$e^f\sim e^g⟺f-g⟶0.$$ Avec le contre-exemple du a), $f-g=x$ ne tend pas vers $0$ : $e^{x^2+x}\nsim e^{x^2}$, le rapport vaut $e^x$. Et si $g$ est bornée, le a) donne $f-g\to 0$, donc $e^f\sim e^g$. L'exponentielle transforme une différence en rapport : pour composer un équivalent par $\exp$, il faut une information sur $f-g$, strictement plus forte que $f\sim g$. C'est l'interdit du cours, désormais expliqué.

c) Le logarithme. Comme $f$ et $g$ sont strictement positives, on écrit $f=g\cdot \frac{f}{g}$, et $$\ln f=\ln g+\ln \frac{f}{g},$$ avec $\ln \frac{f}{g}\to \ln 1=0$ par continuité du logarithme en $1$. Il reste à comparer ce terme parasite au terme principal $\ln g$.

Cas $\ell =0$ ou $\ell =+\infty$. Alors $|\ln g|\to +\infty$ ; $\ln g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, et $$\frac{\ln f}{\ln g}=1+\frac{\ln (f/g)}{\ln g}⟶1+0=1.$$ Cas $\ell \in \left]0,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[$. Alors $\ln g\to \ln \ell$, réel non nul puisque $\ell \ne 1$, et $\ln f\to \ln \ell$ aussi, puisque $f$ a la même limite que $g$ : le quotient $\frac{\ln f}{\ln g}$ tend vers $\frac{\ln \ell }{\ln \ell }=1$.

Dans les deux cas, $\ln f\sim \ln g$. Le logarithme transforme un rapport en différence : il respecte l'équivalence, à la seule condition que $\ln g$ ne tende pas vers $0$ — c'est la précaution que le cours demande de justifier.

Le contre-exemple pour $\ell =1$. En $+\infty$, $f(x)=1+\frac{1}{x}$ et $g(x)=1+\frac{2}{x}$ tendent vers $1$, donc $f\sim g$. Mais $\ln (1+u)\sim u$ quand $u\to 0$ donne $\ln f(x)\sim \frac{1}{x}$ et $\ln g(x)\sim \frac{2}{x}$ : $\frac{\ln f}{\ln g}\to \frac{1}{2}$. Quand $g\to 1$, le terme principal tend lui aussi vers $0$, et c'est le terme parasite qui décide (en $x=1000$, le quotient vaut $0,50025$).

d) Oui. $\frac{f+g}{g}=\frac{f}{g}+1\to 1$ : c'est la lecture « $g+o(g)$ est équivalent à $g$ », la forme de l'équivalence qui sert à calculer.

e) L'application. D'après le b), c'est la différence avec $x$ qu'il faut connaître. Par la quantité conjuguée, pour $x>0$ : $$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}⟶0$$ et $$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}⟶\frac{1}{2}.$$ Le premier écart tend vers $0$ : $e^{\sqrt{x^2+1}}\sim e^x$. Le second tend vers $\frac{1}{2}$, donc $e^{\sqrt{x^2+x}-x}\to e^{1/2}$, c'est-à-dire $$e^{\sqrt{x^2+x}}\underset{+\infty }{\sim }\sqrt{e}{e}^x.$$ Deux exposants équivalents à $x$, deux conclusions différentes : tout se joue sur un écart d'un demi, invisible pour l'équivalence des exposants. Contrôle : le rapport $e^{\sqrt{x^2+x}-x}$ vaut $1,6467$ en $x=100$ et $1,6485$ en $x=1000$, pour $\sqrt{e}\approx 1,6487$.

Le point délicat. L'erreur classique est d'écrire « $\sqrt{x^2+x}\sim x$, donc $e^{\sqrt{x^2+x}}\sim e^x$ » : c'est composer un équivalent par l'exponentielle, ce que le b) interdit tant qu'on n'a pas montré que la différence tend vers $0$.

Ce que l'exercice installe. Un équivalent est une erreur relative ; l'exponentielle exige l'erreur absolue sur l'exposant ; le logarithme conserve l'équivalence dès que $\ln g$ ne tend pas vers $0$. Ces critères reviendront aux exercices 8 et 9, où l'on passe au logarithme d'une puissance avant de revenir à l'exponentielle. En chimie, la loi d'Arrhenius $k=A{e}^{-E_a/(RT)}$ en donne la mesure : pour une réaction usuelle à température ambiante, l'exposant $\frac{E_a}{RT}$ vaut environ $40$ ; une incertitude relative de 1 % sur cet exposant, soit une erreur absolue de $0,4$, multiplie la constante de vitesse par $e^{0,4}\approx 1,5$. En physique, c'est la même leçon pour les incertitudes : une incertitude relative sur une grandeur ne dit rien de l'incertitude sur son exponentielle.