Une base qui tend vers 1, un exposant qui tend vers l'infini, et la loi des événements rares

La stratégie. Toute la séance l'a préparé : une puissance dont la base tend vers $1$ et l'exposant vers l'infini est une forme indéterminée. On écrit $A^B=e^{B\ln A}$ ; on étudie l'exposant par un développement limité ou un équivalent ; et l'on conclut par la continuité de l'exponentielle, qui transporte une limite — jamais un simple équivalent (exercice 1). L'exposant dicte l'ordre : s'il vaut $\frac{1}{x^2}$, il faut le logarithme de la base à l'ordre $2$.

a) Une limite de fonction. Au voisinage de $0$ privé de $0$, $\frac{\sin x}{x}>0$, et $${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}=\exp \left(\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}\right).$$ L'ordre. On divise par $x^2$ : une erreur en $o(x^2)$ devient un $o(1)$, qui s'efface à la limite ; il faut donc le logarithme à l'ordre $2$, ce qui demande $\sin x$ à l'ordre $3$. De $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$, on tire $\frac{\sin x}{x}=1+u$ avec $u=-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 0$. Comme $\ln (1+u)=u+o(u)$ et que $o(u)$ est un $o(x^2)$, $$\ln \frac{\sin x}{x}=-\frac{x^2}{6}+o(x^2),\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6}+o(1)⟶-\frac{1}{6}.$$ Par continuité de l'exponentielle en $-\frac{1}{6}$ : $$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}=e^{-1/6}\approx 0,8465.$$ Contrôle : en $x=0,1$, la quantité vaut $0,84643$. Conclure « la base tend vers $1$, donc la limite vaut $1$ » est faux, et le résultat le prouve.

b) Trois exposants, trois limites. Pour $n\ge 1$, $\cos \frac{1}{n}>0$, et ${\left(\cos \frac{1}{n}\right)}^{n^k}=\exp \left(n^k\ln \cos \frac{1}{n}\right)$, pour $k=1,2,3$. Posons $t=\frac{1}{n}\to 0$. Comme $\cos t=1+v$ avec $v=-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\to 0$ et $\ln (1+v)\sim v$, on obtient l'équivalent $$\ln \cos t\sim -\frac{t^2}{2},\text{donc}{n}^k\ln \cos \frac{1}{n}\sim -\frac{n^k}{2n^2}=-\frac{n^{k-2}}{2},$$ par produit d'équivalents. Cet équivalent donne la limite de l'exposant — deux suites équivalentes ont la même limite :

• $k=1$ : $-\frac{1}{2n}\to 0$, et la limite vaut $e^0=1$ ;
• $k=2$ : l'exposant tend vers $-\frac{1}{2}$, et la limite vaut $e^{-1/2}\approx 0,6065$ ;
• $k=3$ : $-\frac{n}{2}\to -\infty$, et la limite vaut $0$.

L'ordre. Dans les trois cas, le premier terme non nul de $\ln \cos t$, en $t^2$, suffit : il fournit l'équivalent, et l'équivalent fournit la limite. Mais c'est l'exposant qui dit ce que ce terme devient : il écrase la base vers $1$ si l'exposant croît moins vite que $n^2$, l'amène vers $0$ s'il croît plus vite, et ne donne une limite strictement comprise entre $0$ et $1$ que pour l'exposant $n^2$, exactement accordé au $t^2$ du cosinus. Contrôle : ${\left(\cos \frac{1}{10}\right)}^{100}=0,6060$.

c) La loi des événements rares. Le cas $k=0$. $P(X_n=0)={\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n=\exp \left(n\ln \left(1-\frac{\lambda }{n}\right)\right)$. Comme $-\frac{\lambda }{n}\to 0$ et $\ln (1+u)\sim u$ : $$n\ln \left(1-\frac{\lambda }{n}\right)\sim n\cdot \left(-\frac{\lambda }{n}\right)=-\lambda ,$$ donc l'exposant tend vers $-\lambda$, et, par continuité de l'exponentielle, $P(X_n=0)\to e^{-\lambda }$.

Le cas général. Fixons $k$ ; pour $n\ge k$, on écrit $$P(X_n=k)=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!n^k}{\lambda }^k{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-k}.$$ Trois facteurs varient avec $n$. Le premier vaut $\frac{1}{k!}{\prod }_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)$ : c'est un produit d'un nombre fixe $k$ de facteurs qui tendent chacun vers $1$, il tend vers $\frac{1}{k!}$. Le deuxième tend vers $e^{-\lambda }$ par le cas $k=0$. Le troisième tend vers $1^{-k}=1$, l'exposant $-k$ étant fixe. Par produit des limites, $$P(X_n=k)⟶e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$ Contrôle, pour $\lambda =2$ : les probabilités de zéro, un et deux succès valent $0,13262$ ; $0,27065$ ; $0,27341$ pour $n=100$ et $0,13506$ ; $0,27067$ ; $0,27094$ pour $n=1000$, contre $e^{-2}\approx 0,13534$, $2e^{-2}\approx 0,27067$ et $2e^{-2}\approx 0,27067$.

Remarque de programme : les nombres $e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$ sont les probabilités de la loi de Poisson ; ce n'est pas un objet du cours de PTSI, où les univers sont finis. On n'a manipulé ici que des limites de nombres, par les outils de ce chapitre.

Le point délicat. L'exposant $-k$ est fixe, l'exposant $n$ ne l'est pas : ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-k}\to 1$ par simple continuité, mais ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n$ est une forme « un puissance infini », qui ne tend pas vers $1$.

d) La vitesse de l'approximation. Il faut maintenant l'exposant à $o\left(\frac{1}{n}\right)$ près ; la multiplication par $n$ abaisse d'un ordre, donc il faut le logarithme à l'ordre $2$ : $$n\ln \left(1-\frac{\lambda }{n}\right)=n\left(-\frac{\lambda }{n}-\frac{{\lambda }^2}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=-\lambda -\frac{{\lambda }^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right).$$ On sort $e^{-\lambda }$, et l'on développe $e^w$ avec $w=-\frac{{\lambda }^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\to 0$ : $e^w=1+w+o(w)$, d'où $$P(X_n=0)=e^{-\lambda }\left(1-\frac{{\lambda }^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right).$$ L'erreur relative commise en remplaçant $P(X_n=0)$ par $e^{-\lambda }$ est donc équivalente à $-\frac{{\lambda }^2}{2n}$. Pour $\lambda =2$ et $n=100$, la prédiction vaut $-\frac{4}{200}=-2\%$ ; la valeur réelle est $\frac{0,132620}{0,135335}-1\approx -2,01\%$.

Ce que l'exercice installe. Une forme « un puissance infini » se traite toujours de la même façon : exponentielle, développement du logarithme de la base à l'ordre que dicte l'exposant, puis continuité. Et un développement d'un cran de plus donne la qualité de l'approximation, pas seulement sa limite. En probabilités, c'est la loi des événements rares : un grand nombre d'épreuves de faible probabilité, comme les pannes ou les défauts de fabrication que l'on retrouvera en sciences industrielles, se décrit par une formule qui ne dépend que du nombre moyen $\lambda$ de succès ; le chapitre sur les probabilités y reviendra avec la loi binomiale.