Une différence de logarithmes qui ne s'annule pas

Stratégie : regrouper en un seul logarithme avant toute estimation. L'expression est une différence de deux quantités qui tendent toutes deux vers $+\infty$ et qui sont équivalentes : c'est une forme indéterminée que les équivalents ne savent pas traiter. On la transforme d'abord en une seule quantité.

Le regroupement. Comme $2\ln x=\ln \left(x^2\right)$ pour $x>0$ : $$\ln \left(x^2+x+1\right)-2\ln x=\ln \left(\frac{x^2+x+1}{x^2}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right).$$

L'estimation. Posons $u=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$, qui tend vers $0$ quand $x\to +\infty$. D'une part $\ln (1+u)\sim u$ (équivalent usuel, licite car $u\to 0$). D'autre part $$u=\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)\sim \frac{1}{x}.$$ Par transitivité : $$\boxed{\ln \left(x^2+x+1\right)-2\ln x\underset{+\infty }{\sim }\frac{1}{x}.}$$

⚠️ Le piège, et c'est tout l'exercice. On a bien $\ln \left(x^2+x+1\right)\sim 2\ln x$ ; on serait tenté d'en conclure que la différence est équivalente à $0$. C'est doublement fautif : on n'additionne pas des équivalents, et surtout aucune fonction n'est équivalente à la fonction nulle — un équivalent nul n'existe pas. Les deux termes valent chacun environ $13,8$ en $x=10^6$ et leur différence vaut $10^{-6}$ : l'écart relatif est minuscule, l'écart lui-même est parfaitement identifiable.

Contrôle numérique. En $x=1000$ : $\ln (1001001)-2\ln (1000)=0,0010005$, à comparer à $\frac{1}{x}=0,001$. L'accord est à quatre décimales.

Ce que l'exercice installe. Devant une différence, on ne compare pas les morceaux séparément : on regroupe. Pour des logarithmes, regrouper c'est faire un quotient ; pour des racines, ce sera multiplier par la quantité conjuguée. Dans les deux cas, la même idée : fabriquer une seule expression avant d'estimer.