Al-Kashi, ou Pythagore avec un reste

Stratégie : Chasles pour écrire le côté cherché, puis la bilinéarité du produit scalaire. Aucune trigonométrie n'est nécessaire : le cosinus apparaîtra tout seul, au moment où l'on interprétera un produit scalaire.

1) Le vecteur, avant les longueurs. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$. En passant aux carrés des normes et en développant, ce qui est licite puisque le produit scalaire est bilinéaire et symétrique :

$$a^2={\Vert \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2={\Vert \overrightarrow{BA}\Vert }^2+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}+{\Vert \overrightarrow{AC}\Vert }^2=c^2+b^2+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}.$$

⚠️ Le point délicat est le signe, et il tient à un changement d'origine. L'angle $\hat{A}$ du triangle est celui des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, tous deux issus de $A$ ; or le développement fait apparaître $\overrightarrow{BA}$, qui est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$. Donc

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \Vert \overrightarrow{AC}\Vert \cos \hat{A}=-bc\cos \hat{A}.$$

Confondre les deux, c'est obtenir un signe $+$ devant le terme correctif — et une formule qui donnerait, pour un angle droit, $a^2=b^2+c^2+0$, certes juste, mais qui échouerait sur tout autre angle.

2) La formule. En reportant :

$$\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}.}$$

3) Le cas de l'angle droit. Si $\hat{A}=\frac{\pi }{2}$, alors $\cos \hat{A}=0$ et il reste

$$a^2=b^2+c^2:$$

c'est le théorème de Pythagore. Autrement dit, Al-Kashi est Pythagore avec un terme de correction, et ce terme mesure exactement le défaut de perpendicularité : il est négatif quand l'angle est aigu — le côté opposé est plus court que ne le voudrait Pythagore — et positif quand l'angle est obtus.

Contrôles numériques. Avec $b=3$, $c=4$ et $\hat{A}=\frac{\pi }{2}$ : $a^2=9+16=25$, donc $a=5$ — le triangle rectangle de côtés $3$, $4$, $5$. ✔ Avec les mêmes $b$ et $c$ mais $\hat{A}=\frac{\pi }{3}$, dont le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ : $a^2=9+16-2\times 12\times \frac{1}{2}=13$, soit $a\approx 3,606$ — plus court que $5$, ce qu'annonçait l'angle aigu. ✔ Et avec $\hat{A}=\frac{2\pi }{3}$, de cosinus $-\frac{1}{2}$ : $a^2=25+12=37$, soit $a\approx 6,083$ — plus long. ✔

Ce que l'exercice installe. Le produit scalaire traduit les angles en calculs : une identité de géométrie du triangle, connue depuis l'Antiquité et démontrée classiquement par des découpages, tient ici en deux lignes de bilinéarité. C'est le mécanisme qu'on retrouvera pour toutes les identités métriques — médiane, parallélogramme, polarisation.