Cercle, tangente et intersection

Stratégie : mettre l'équation sous forme canonique, puis tout lire dessus. Une équation de cercle écrite en vrac ne se lit pas ; regroupée en carrés, elle livre d'un coup le centre, le rayon et un paramétrage, et les deux questions suivantes deviennent des comparaisons de distances.

1) Centre, rayon, paramétrage. Regroupons les termes en $x$ et ceux en $y$ :

$$x^2-6x+y^2-4y+9=(x-3{)}^2-9+(y-2{)}^2-4+9=(x-3{)}^2+(y-2{)}^2-4.$$

L'équation équivaut donc à

$$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=4:$$

$\mathcal{C}$ est le cercle de centre $\Omega (3,2)$ et de rayon $2$, et il se paramètre par

$$x=3+2\cos t,y=2+2\sin t,t\in \left[0,2\pi \right[.$$

⚠️ Le membre de droite pouvait être négatif, et il faut le regarder avant de parler de cercle. Une équation de la forme $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=c$ ne décrit un cercle que si $c>0$ ; si $c=0$ elle décrit le seul point $(a,b)$, et si $c<0$ l'ensemble est vide. Ici $c=4>0$ : le cercle existe, et son rayon est $\sqrt{4}=2$.

2) L'intersection avec la droite horizontale ${\mathcal{D}}_m:y=m$. Plutôt que de reporter et de calculer un discriminant, comparons la distance du centre à la droite au rayon. La droite $y=m$ est horizontale, donc

$$d(\Omega ,{\mathcal{D}}_m)=|m-2|.$$

condition	position	intersection
$\Vert m-2\Vert >2$, soit $m<0$ ou $m>4$	la droite est trop loin	vide
$m=0$ ou $m=4$	tangence	un seul point, $(3,0)$ ou $(3,4)$
$0<m<4$	la droite traverse	deux points, $\left(3\pm \sqrt{4-(m-2{)}^2},m\right)$

Les deux points d'intersection s'obtiennent en reportant $y=m$ dans l'équation canonique : $(x-3{)}^2=4-(m-2{)}^2$, dont la racine carrée existe précisément quand la parenthèse est positive.

3) La tangente en $P(3,4)$. Vérifions d'abord que $P$ est sur le cercle : $(3-3{)}^2+(4-2{)}^2=4$ ✔ — c'est d'ailleurs le point de tangence trouvé pour $m=4$. Le rayon en ce point est $\overrightarrow{\Omega P}(0,2)$, vertical ; la tangente est la perpendiculaire au rayon passant par $P$, donc la droite de vecteur normal $(0,2)$ passant par $(3,4)$ :

$$0\times (x-3)+2(y-4)=0⟺\boxed{y=4.}$$

Contrôle de cohérence, et c'est le meilleur de l'exercice. La question 2 avait annoncé, pour $m=4$, une droite tangente au cercle au point $(3,4)$. La question 3 retrouve exactement cette droite par une tout autre voie — l'orthogonalité au rayon. Les deux méthodes concordent. ✔

Contrôle numérique. Pour $m=2$, la formule donne les deux points $\left(3\pm 2,2\right)$, c'est-à-dire $(1,2)$ et $(5,2)$ : ce sont les extrémités du diamètre horizontal, ce qui est correct puisque la droite $y=2$ passe par le centre. ✔

Ce que l'exercice installe. Devant un cercle, la forme canonique d'abord ; devant une intersection avec une droite, la distance du centre à la droite, jamais le discriminant. Ces deux réflexes rendent immédiats l'ensemble des exercices de position relative, dans le plan comme, plus tard, pour les sphères de l'espace.