Deux droites qui s'évitent : la perpendiculaire commune

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La condition de coplanarité du cours ($[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=0$ si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires) ; la trilinéarité et l'antisymétrie du produit mixte, son invariance par permutation circulaire, $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}$ ; l'identité de Lagrange de l'exercice précédent ; le fait, vu en Terminale, que trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.

La stratégie. Un seul nombre, le produit mixte $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]$, décide si les droites sont coplanaires. Quand elles ne le sont pas, on cherche le couple de points le plus proche : il est caractérisé par deux orthogonalités, qui donnent un système linéaire $2\times 2$ dont le déterminant est, au signe près, $\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}{\Vert }^2$.

a) La coplanarité. Si ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ sont contenues dans un même plan $\Pi$, les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AB}$ (qui joint deux points de $\Pi$) sont des vecteurs de la direction de $\Pi$ : ils sont coplanaires, et leur produit mixte est nul. Réciproquement, si $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=0$, les trois vecteurs sont coplanaires ; comme $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, $\overrightarrow{AB}$ appartient à $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Le plan $\Pi =A+\mathrm{Vect}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ contient alors $A$ et $B$, donc ${\mathcal{D}}_1$ (issue de $A$, dirigée par $\overrightarrow{u}$) et ${\mathcal{D}}_2$ (issue de $B$, dirigée par $\overrightarrow{v}$).

Comme $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles ; coplanaires, elles sont donc sécantes. Un produit mixte non nul signifie que les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont gauches. Dans l'espace, c'est le cas général.

b) Le couple le plus proche. Posons $P=A+s\overrightarrow{u}$ et $Q=B+t\overrightarrow{v}$, de sorte que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{v}-s\overrightarrow{u}$. Les deux conditions d'orthogonalité s'écrivent, par bilinéarité : $$\{\begin{array}{l}-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^{2}s+(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})t=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}\\ -(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})s+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^{2}t=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{v}\end{array}$$ C'est un système linéaire de deux équations aux deux inconnues $s$ et $t$. Son déterminant vaut $$-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2+(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}{)}^2=-\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}{\Vert }^2$$ par l'identité de Lagrange, et il est non nul puisque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires. Le système a donc une solution et une seule : il existe un unique couple $(P,Q)$. (Si les droites sont sécantes, on trouve $P=Q$, leur point commun.)

c) La distance. $\overrightarrow{PQ}$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$. Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est non nul, orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$, et $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}]=\Vert \overrightarrow{n}{\Vert }^2\ne 0$ : les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{n}$ ne sont pas coplanaires, ils forment une base, et l'on peut écrire $\overrightarrow{PQ}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}+\gamma \overrightarrow{n}$. En posant $\overrightarrow{w}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}$, les orthogonalités $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{u}=0$ et $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{v}=0$ donnent $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=0$ et $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=0$, d'où $$\Vert \overrightarrow{w}{\Vert }^2=\alpha (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u})+\beta (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v})=0.$$ Donc $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{PQ}=\gamma \overrightarrow{n}$.

Le produit mixte. Écrivons $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$, avec $\overrightarrow{AP}$ colinéaire à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{QB}$ colinéaire à $\overrightarrow{v}$. Par trilinéarité, $[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=0$ et $[\overrightarrow{QB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=0$ (deux vecteurs colinéaires parmi trois). Il reste, par permutation circulaire, $$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=[\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{PQ}=\gamma \Vert \overrightarrow{n}{\Vert }^2.$$ Comme $PQ=|\gamma |\Vert \overrightarrow{n}\Vert$, on obtient $$PQ=\frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|}{\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\Vert }.$$

La minimalité. Soient $M=P+\lambda \overrightarrow{u}\in {\mathcal{D}}_1$ et $N=Q+\mu \overrightarrow{v}\in {\mathcal{D}}_2$. Alors $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}+(\mu \overrightarrow{v}-\lambda \overrightarrow{u})$, et le second vecteur est orthogonal à $\overrightarrow{PQ}$ (qui l'est à $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$). Par Pythagore, $$M{N}^2=P{Q}^2+\Vert \mu \overrightarrow{v}-\lambda \overrightarrow{u}{\Vert }^2\ge P{Q}^2,$$ avec égalité si et seulement si $\mu \overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{u}$, c'est-à-dire, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ n'étant pas colinéaires, $\lambda =\mu =0$ : $(M,N)=(P,Q)$. $PQ$ est la distance des deux droites, atteinte en un seul couple de points.

Le point délicat. Ce n'est pas parce que $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ}$ est « petit » que $MN\ge PQ$, c'est parce qu'il est orthogonal à $\overrightarrow{PQ}$ : toute l'inégalité est un Pythagore. Et l'existence du couple $(P,Q)$ ne vient pas d'un dessin : elle vient d'un déterminant non nul, que l'identité de Lagrange identifie.

d) Application. $\overrightarrow{AB}=(-1,0,1)$ et $$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=(1\times (-1)-0\times 1,0\times 0-1\times (-1),1\times 1-1\times 0)=(-1,1,1).$$ Donc $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{AB}=1+0+1=2\ne 0$ : les droites ne sont pas coplanaires. Avec $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=-1$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{v}=-1$, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1$ et $\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2=2$, le système s'écrit $$\{\begin{array}{l}-2s+t=1\\ -s+2t=1\end{array}$$ La première donne $t=1+2s$ ; la seconde devient $-s+2+4s=1$, soit $s=-\frac{1}{3}$, puis $t=\frac{1}{3}$. D'où $$P\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},0\right),Q\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),$$ et $\overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}(-1,1,1)$, bien colinéaire à $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$. Sa norme vaut $\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}$, et la formule donne $\frac{2}{\sqrt{3}}$ elle aussi. La distance des deux droites vaut $\frac{2}{\sqrt{3}}$. Contrôle : $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{u}=\frac{2}{3}(-1+1)=0$ et $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{2}{3}(1-1)=0$.

Ce que l'exercice installe. Deux droites de l'espace sont coplanaires si et seulement si un produit mixte s'annule ; sinon, elles ont une unique perpendiculaire commune, dirigée par $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$, qui réalise leur distance $\frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|}{\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\Vert }$ : volume divisé par aire de base, c'est une hauteur. En sciences industrielles, c'est l'entraxe de deux axes non concourants — celui d'une roue et d'une vis sans fin, par exemple ; et le problème de la séance va retrouver la même structure pour l'axe d'un système de forces.