mathématiques (PTSI) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Équations d'une droite du plan et distance

Géométrie du plan et de l'espace · C. Produit mixte plan et droites · niveau 1 (application)

Énoncé

Soient $A (2, 1)$ et $B (5, 3)$ .

Donner une représentation paramétrique et une équation cartésienne de la droite $(A B)$ .
Calculer la distance du point $M (4, - 1)$ à $(A B)$ et l'aire du triangle $A B M$ .

Corrigé

1. $u = A B (3, 2)$ , d'où la paramétrique $x = 2 + 3 λ$ , $y = 1 + 2 λ$ . Équation cartésienne par $[u, A M] = 0$ : $3 (y - 1) - 2 (x - 2) = 0$ , soit $2 x - 3 y - 1 = 0$ . Contrôle : $B$ vérifie $10 - 9 - 1 = 0$ . ✔

2. $d (M, (A B)) = \frac{∣2 \times 4 - 3 \times ( - 1 ) - 1∣}{4 + 9} = \frac{10}{13}$ . Aire de $A B M$ : $\frac{1}{2} [A B, A M] = \frac{1}{2} ∣ 3 \times (- 2) - 2 \times 2 ∣ = 5$ . Cohérence : $\frac{1}{2} \times A B \times d = \frac{1}{2} 13 \times \frac{10}{13} = 5$ . ✔

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