L'aire d'un polygone, par le produit mixte

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 9 — Géométrie du plan et de l'espace · C. Produit mixte plan et droites

Énoncé

Le plan est orienté et rapporté à un repère orthonormé direct d'origine $O$ . Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ , on appelle aire orientée du triangle $A B C$ le réel $A (A B C) = \frac{1}{2} [A B, A C]$ .

a) Montrer que $∣ A (A B C)∣$ est l'aire du triangle, que $A (A B C) > 0$ si et seulement si le couple $(A B, A C)$ est direct, et que $A (B A C) = - A (A B C)$ .

b) Montrer que, pour tout point $P$ du plan, $A (A B C) = \frac{1}{2} ([P A, P B] + [P B, P C] + [P C, P A]) .$ En déduire que $A (B C A) = A (A B C)$ .

c) Pour des points $A_{1}, \dots, A_{n}$ ( $n \geq 3$ ), on pose, avec la convention $A_{n + 1} = A_{1}$ , $A (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = \frac{1}{2} k = 1 \sum n [O A_{k}, O A_{k + 1}] .$ Montrer que cette quantité ne change pas si l'on remplace $O$ par un autre point $P$ . (Écrire $O A_{k} = O P + P A_{k}$ et faire apparaître une somme télescopique.)

d) On suppose le polygone $A_{1} \dots A_{n}$ convexe et parcouru dans le sens trigonométrique, ce qui signifie ici : pour chaque côté $[A_{k} A_{k + 1}]$ , tout sommet $A_{j}$ qui n'est pas une extrémité de ce côté vérifie $[A_{k} A_{k + 1}, A_{k} A_{j}] > 0$ (il est strictement « à gauche » du côté). En le découpant en triangles $A_{1} A_{k} A_{k + 1}$ ( $2 \leq k \leq n - 1$ ), montrer que $A (A_{1} \dots A_{n})$ est son aire.

e) Écrire la formule en coordonnées, $A_{k} (x_{k}, y_{k})$ : c'est la « formule du lacet ». Application : aire du quadrilatère $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (5, 3)$ , $D (1, 4)$ ; que donne la formule si on le parcourt dans l'ordre $A$ , $D$ , $C$ , $B$ ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'interprétation du cours : $∣[u, v]∣$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ , et le signe de $[u, v]$ est positif si et seulement si le couple est direct ; la bilinéarité, l'antisymétrie ( $[v, u] = - [u, v]$ , donc $[u, u] = 0$ ) ; l'expression $[u, v] = x y^{'} - y x^{'}$ en base orthonormée directe.

La stratégie. L'aire géométrique n'est pas additive de façon simple : pour découper une figure, il faut savoir que les morceaux ne se chevauchent pas. L'aire orientée, elle, est bilinéaire, donc se calcule par développement, et les morceaux parasites se compensent d'eux-mêmes par leurs signes. On établit d'abord l'indépendance vis-à-vis du point de référence, puis on choisit le point qui rend le découpage évident.

a) Aire, signe, antisymétrie. Le triangle $A B C$ est la moitié du parallélogramme construit sur $A B$ et $A C$ ; son aire vaut donc $\frac{1}{2} ∣[A B, A C]∣ = ∣ A (A B C)∣$ . Le signe de $A (A B C)$ est celui de $[A B, A C]$ , positif si et seulement si le couple $(A B, A C)$ est direct : on tourne de $A B$ vers $A C$ dans le sens trigonométrique, autrement dit on parcourt $A$ , $B$ , $C$ dans ce sens. Enfin $A (B A C) = \frac{1}{2} [B A, B C],$ avec $B A = - A B$ et $B C = A C - A B$ . Par bilinéarité, $[B A, B C] = - [A B, A C] + [A B, A B] = - [A B, A C],$ puisque $[A B, A B] = 0$ . Donc $A (B A C) = - A (A B C)$ : échanger deux sommets renverse le sens de parcours, donc le signe.

b) Le point de référence est libre. On exprime tout à partir de $P A$ en écrivant $P B = P A + A B$ et $P C = P A + A C$ , puis on développe chaque terme par bilinéarité, en supprimant les $[w, w]$ qui sont nuls :

$[P A, P B] = [P A, A B]$ ;
$[P B, P C] = [P A, A C] + [A B, P A] + [A B, A C]$ ;
$[P C, P A] = [A C, P A]$ .

En sommant, $[P A, A B]$ et $[A B, P A]$ s'annulent par antisymétrie, de même que $[P A, A C]$ et $[A C, P A]$ . Il reste exactement $[A B, A C]$ , d'où la formule. Elle est invariante par permutation circulaire de $A$ , $B$ , $C$ : les trois crochets sont simplement permutés. Donc $A (B C A) = A (A B C)$ , et de même $A (C A B)$ .

c) Indépendance vis-à-vis de l'origine. Écrivons $O A_{k} = O P + P A_{k}$ pour tout $k$ . Par bilinéarité, et parce que $[O P, O P] = 0$ , $[O A_{k}, O A_{k + 1}] = [O P, P A_{k + 1}] + [P A_{k}, O P] + [P A_{k}, P A_{k + 1}] .$ Par antisymétrie, $[P A_{k}, O P] = - [O P, P A_{k}]$ . En sommant pour $k$ de $1$ à $n$ , les deux premiers termes forment une somme télescopique : $k = 1 \sum n ([O P, P A_{k + 1}] - [O P, P A_{k}]) = [O P, P A_{n + 1}] - [O P, P A_{1}],$ qui est nulle puisque $A_{n + 1} = A_{1}$ . Il reste $k = 1 \sum n [O A_{k}, O A_{k + 1}] = k = 1 \sum n [P A_{k}, P A_{k + 1}] .$

Le point délicat. C'est la fermeture du polygone ( $A_{n + 1} = A_{1}$ ) qui annule le télescopage. Pour une ligne polygonale ouverte, la quantité dépendrait du point de référence : elle mesurerait l'aire « balayée » vue depuis ce point, pas une aire intrinsèque.

d) C'est l'aire. D'après c), on peut prendre $P = A_{1}$ . Les termes $k = 1$ et $k = n$ s'annulent, car ils contiennent $A_{1} A_{1} = 0$ ; il reste $A (A_{1} \dots A_{n}) = k = 2 \sum n - 1 \frac{1}{2} [A_{1} A_{k}, A_{1} A_{k + 1}] = k = 2 \sum n - 1 A (A_{1} A_{k} A_{k + 1}) .$ Chacun de ces triangles a une aire orientée positive : par b), $A (A_{1} A_{k} A_{k + 1}) = A (A_{k} A_{k + 1} A_{1}) = \frac{1}{2} [A_{k} A_{k + 1}, A_{k} A_{1}]$ , et ce nombre est strictement positif par l'hypothèse de convexité, puisque $A_{1}$ n'est pas une extrémité du côté $[A_{k} A_{k + 1}]$ pour $2 \leq k \leq n - 1$ . Chaque terme est donc l'aire géométrique du triangle correspondant. Enfin, ces triangles « en éventail » issus de $A_{1}$ recouvrent le polygone convexe sans se chevaucher (on l'admet, c'est la figure), si bien que l'aire du polygone est la somme de leurs aires : $A (A_{1} \dots A_{n})$ est l'aire du polygone.

e) La formule du lacet. Avec $O$ origine du repère, $O A_{k}$ a pour coordonnées $(x_{k}, y_{k})$ , et l'expression du produit mixte en base orthonormée directe donne $A (A_{1} \dots A_{n}) = \frac{1}{2} k = 1 \sum n (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) .$ On multiplie « en croix » les coordonnées de deux sommets consécutifs, comme on lace une chaussure.

Application. Pour $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (5, 3)$ , $D (1, 4)$ , les quatre termes valent :

de $A$ à $B$ : $0 \times 0 - 4 \times 0 = 0$ ;
de $B$ à $C$ : $4 \times 3 - 5 \times 0 = 12$ ;
de $C$ à $D$ : $5 \times 4 - 1 \times 3 = 17$ ;
de $D$ à $A$ : $1 \times 0 - 0 \times 4 = 0$ .

D'où $A (A B C D) = \frac{29}{2}$ . Il faut encore vérifier l'hypothèse du d) pour affirmer que c'est l'aire : pour chaque côté, les deux sommets restants doivent être strictement à gauche. Pour le côté $[A B]$ : $[A B, A C] = 12$ et $[A B, A D] = 16$ ; pour $[B C]$ : $[B C, B D] = 13$ et $[B C, B A] = 12$ ; pour $[C D]$ : $[C D, C A] = 17$ et $[C D, C B] = 13$ ; pour $[D A]$ : $[D A, D B] = 16$ et $[D A, D C] = 17$ . Les huit nombres sont strictement positifs : le quadrilatère est convexe et parcouru dans le sens direct. Son aire vaut $\frac{29}{2}$ .

Contrôle par le découpage. $A (A B C) = \frac{1}{2} (4 \times 3 - 0 \times 5) = 6$ et $A (A C D) = \frac{1}{2} (5 \times 4 - 3 \times 1) = \frac{17}{2}$ : la somme vaut $\frac{29}{2}$ . En prenant pour origine le point $(7, - 2)$ , le calcul redonne $\frac{29}{2}$ , comme l'annonce c).

Dans l'ordre $A$ , $D$ , $C$ , $B$ , chaque terme de la somme est remplacé par son opposé (on parcourt chaque côté dans l'autre sens, et $[v, u] = - [u, v]$ ) : on obtient $- \frac{29}{2}$ . La valeur absolue est l'aire, le signe dit le sens de parcours.

Ce que l'exercice installe. L'aire orientée est additive et indépendante de l'origine, là où l'aire géométrique exige de vérifier qu'on ne compte rien deux fois : les signes s'en chargent. C'est le principe de tout calcul d'aire par ordinateur (un contour polygonal suffit) et celui du calcul de la surface et du centre de gravité d'une section en sciences industrielles. En mécanique, $\frac{1}{2} [O M, O M^{'}]$ est l'aire balayée par le rayon vecteur entre deux positions voisines : c'est la loi des aires de Kepler, et en deuxième année, la formule du lacet devient une intégrale le long d'un contour.

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