L'identité de la médiane, et le cercle qu'elle cache

Stratégie : tout ramener au point $I$. Une identité qui fait intervenir un point $M$ quelconque et deux points fixes se démontre presque toujours en introduisant Chasles avec le point le mieux placé — ici le milieu, parce que c'est le seul point pour lequel $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont opposés.

1) L'identité de la médiane. Écrivons $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$, puis développons les carrés scalaires :

$$M{A}^2=M{I}^2+2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{IA}+I{A}^2,M{B}^2=M{I}^2+2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{IB}+I{B}^2.$$

Additionnons. Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$, donc les deux doubles produits se détruisent :

$$2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}\cdot \left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)=2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{0}=0.$$

⚠️ C'est ici, et uniquement ici, que sert l'hypothèse « $I$ est le milieu ». Pour un autre point $I$, les termes croisés subsisteraient et l'identité serait fausse. Le milieu est exactement le point qui annule la somme $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$.

Il reste $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2$. Or $IA=IB=\frac{AB}{2}$, donc $I{A}^2+I{B}^2=2\times \frac{A{B}^2}{4}=\frac{A{B}^2}{2}$ :

$$\boxed{M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}.}$$

2) Le lieu cherché. La condition $M{A}^2+M{B}^2=A{B}^2$ se réécrit, grâce à l'identité :

$$2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}=A{B}^2⟺2M{I}^2=\frac{A{B}^2}{2}⟺M{I}^2=\frac{A{B}^2}{4}⟺MI=\frac{AB}{2}.$$

L'ensemble cherché est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$.

Et ce résultat en cache un autre. Dire que $M{A}^2+M{B}^2=A{B}^2$, c'est dire que le triangle $AMB$ vérifie la relation de Pythagore, donc qu'il est rectangle en $M$. On vient donc de redémontrer, par le seul produit scalaire, que le cercle de diamètre $[AB]$ est exactement l'ensemble des points d'où l'on voit $[AB]$ sous un angle droit — ce que le cours obtient par la caractérisation $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

Contrôle numérique. Prenons $A(0,0)$, $B(4,0)$, donc $I(2,0)$ et $AB=4$. Avec $M(2,2)$ : $M{A}^2=4+4=8$, $M{B}^2=4+4=8$, de somme $16$ ; et $2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2\times 4+8=16$. ✔ Cette somme vaut aussi $A{B}^2=16$, donc $M$ doit être sur le cercle de centre $I$ et de rayon $2$ : en effet $MI=2$. ✔ Et le triangle $AMB$ est bien rectangle en $M$, puisque $\overrightarrow{MA}(-2,-2)$ et $\overrightarrow{MB}(2,-2)$ ont pour produit scalaire $-4+4=0$. ✔

Ce que l'exercice installe. Une identité métrique se démontre en choisissant le point d'appui qui annule les termes croisés. Et une identité, une fois écrite, transforme une équation compliquée en une équation sur une seule distance — c'est-à-dire en un cercle. C'est le mécanisme de toutes les recherches de lieux géométriques du chapitre.