La base locale des coordonnées cylindriques

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'expression du produit scalaire et du produit vectoriel en base orthonormée directe ; la définition du produit vectoriel (si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, le triplet $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})$ est direct) ; les formules d'addition du cosinus et du sinus.

La stratégie. En coordonnées cylindriques, le bon repère n'est pas $(\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$, qui ignore la symétrie autour de l'axe, mais une base orthonormée directe attachée au point, qui tourne avec lui. On l'établit par le calcul, puis on s'en sert : tout calcul de distance ou d'angle devient un calcul dans cette base.

a) Une base orthonormée directe. En coordonnées, ${\overrightarrow{u}}_r=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$, ${\overrightarrow{u}}_{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta ,0)$, $\overrightarrow{k}=(0,0,1)$. Les normes : $\Vert {\overrightarrow{u}}_r{\Vert }^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, de même pour ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, et $\Vert \overrightarrow{k}\Vert =1$. Les produits scalaires : ${\overrightarrow{u}}_r\cdot {\overrightarrow{u}}_{\theta }=-\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta =0$, et ${\overrightarrow{u}}_r\cdot \overrightarrow{k}={\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \overrightarrow{k}=0$, puisque les troisièmes coordonnées de ${\overrightarrow{u}}_r$ et ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ sont nulles. La famille est orthonormée.

Le produit vectoriel, coordonnée par coordonnée (lignes 2 et 3, puis 3 et 1, puis 1 et 2) : $${\overrightarrow{u}}_r\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta }=(\sin \theta \times 0-0\times \cos \theta ,0\times (-\sin \theta )-\cos \theta \times 0,\cos \theta \cos \theta -\sin \theta (-\sin \theta ))=(0,0,1).$$ Donc ${\overrightarrow{u}}_r\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta }=\overrightarrow{k}$. Comme ${\overrightarrow{u}}_r$ et ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ ne sont pas colinéaires, la définition du produit vectoriel dit que $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_r\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta })$ est direct : $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },\overrightarrow{k})$ est une base orthonormée directe. De même : $${\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \overrightarrow{k}=(\cos \theta \times 1-0,0-(-\sin \theta )\times 1,0)=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)={\overrightarrow{u}}_r,$$ $$\overrightarrow{k}\wedge {\overrightarrow{u}}_r=(0\times 0-1\times \sin \theta ,1\times \cos \theta -0\times 0,0)={\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$ Ce sont les trois relations circulaires $\overrightarrow{ı}\wedge \overrightarrow{ȷ}=\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{ȷ}\wedge \overrightarrow{k}=\overrightarrow{ı}$, $\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{ı}=\overrightarrow{ȷ}$, transportées dans la base mobile.

b) Le point et ses trois directions. Par définition des coordonnées cylindriques, $M$ a pour coordonnées cartésiennes $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)$, donc $$\overrightarrow{OM}=r\cos \theta \overrightarrow{ı}+r\sin \theta \overrightarrow{ȷ}+z\overrightarrow{k}=r{\overrightarrow{u}}_r(\theta )+z\overrightarrow{k}.$$ Le terme ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ n'apparaît pas dans la position : il apparaîtra dans la vitesse.

• Seul $r$ varie ($r\ge 0$) : on obtient la demi-droite issue du point $(0,0,z)$ de l'axe, dirigée par ${\overrightarrow{u}}_r(\theta )$ : une demi-droite horizontale qui s'écarte de l'axe.
• Seul $\theta$ varie : le point $(0,0,z)$ de l'axe est à la distance $\Vert r{\overrightarrow{u}}_r(\theta )\Vert =r$ de $M$, et $M$ reste dans le plan horizontal de cote $z$ : on décrit le cercle horizontal de centre $(0,0,z)$ et de rayon $r$. Sa tangente en $M$ est orthogonale au rayon, dirigé par ${\overrightarrow{u}}_r$ (exercice 5), et contenue dans le plan horizontal ; la direction horizontale orthogonale à ${\overrightarrow{u}}_r$ est celle de ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$.
• Seul $z$ varie : on décrit la droite verticale passant par $M$, dirigée par $\overrightarrow{k}$.

En chaque point, les trois directions des « lignes de coordonnées » sont ${\overrightarrow{u}}_r$, ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, $\overrightarrow{k}$, deux à deux orthogonales.

c) La distance en coordonnées cylindriques. En base orthonormée : $${\overrightarrow{u}}_r({\theta }_1)\cdot {\overrightarrow{u}}_r({\theta }_2)=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2=\cos ({\theta }_2-{\theta }_1),$$ $${\overrightarrow{u}}_r({\theta }_1)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\theta }({\theta }_2)=-\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2=-\sin ({\theta }_2-{\theta }_1).$$ Ensuite $\overrightarrow{M_1{M}_2}=r_2{\overrightarrow{u}}_r({\theta }_2)-r_1{\overrightarrow{u}}_r({\theta }_1)+(z_2-z_1)\overrightarrow{k}$. On développe le carré de la norme par bilinéarité ; les produits scalaires de $\overrightarrow{k}$ avec les ${\overrightarrow{u}}_r$ sont nuls, et les ${\overrightarrow{u}}_r$ sont unitaires : $$M_1{M}_2^2=r_2^2+r_1^2-2r_1{r}_2{\overrightarrow{u}}_r({\theta }_1)\cdot {\overrightarrow{u}}_r({\theta }_2)+(z_2-z_1{)}^2,$$ ce qui donne la formule annoncée. Si $z_1=z_2$, c'est le théorème d'Al-Kashi dans le triangle formé par les deux points et le point de l'axe à leur hauteur, d'angle ${\theta }_2-{\theta }_1$ en ce sommet.

d) Tourner la base. Par les formules d'addition : $${\overrightarrow{u}}_r(\theta +\phi )=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )\overrightarrow{ı}+(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\overrightarrow{ȷ}.$$ On regroupe selon $\cos \phi$ et $\sin \phi$ : $${\overrightarrow{u}}_r(\theta +\phi )=\cos \phi {\overrightarrow{u}}_r(\theta )+\sin \phi {\overrightarrow{u}}_{\theta }(\theta ).$$ Et comme ${\overrightarrow{u}}_{\theta }(\theta +\phi )={\overrightarrow{u}}_r\left(\theta +\phi +\frac{\pi }{2}\right)$ (il suffit de lire les coordonnées : $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$ et $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$), la même formule avec $\phi +\frac{\pi }{2}$ donne $${\overrightarrow{u}}_{\theta }(\theta +\phi )=-\sin \phi {\overrightarrow{u}}_r(\theta )+\cos \phi {\overrightarrow{u}}_{\theta }(\theta ).$$ Les coordonnées des nouveaux vecteurs, rangées en colonnes, forment la matrice $$\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right),$$ qui est la matrice de la rotation d'angle $\phi$ : tourner le point de $\phi$ autour de l'axe fait tourner sa base locale de $\phi$. C'est l'écho de la multiplication par $e^{i\phi }$ des complexes.

e) L'hélice. Pour $M_k\left(1,\frac{k\pi }{3},k\right)$, la formule du c) donne, avec ${\theta }_{k+1}-{\theta }_k=\frac{\pi }{3}$ et $z_{k+1}-z_k=1$ : $$M_k{M}_{k+1}^2=1+1-2\cos \frac{\pi }{3}+1=2.$$ Donc $M_k{M}_{k+1}=\sqrt{2}$ pour tout $k$. Dans le cas général $(R,k\alpha ,kp)$ : $$M_k{M}_{k+1}^2=2R^2(1-\cos \alpha )+p^2=4R^2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+p^2,$$ qui ne dépend pas de $k$. Pour l'angle avec $\overrightarrow{k}$ : $\overrightarrow{M_k{M}_{k+1}}\cdot \overrightarrow{k}=z_{k+1}-z_k=p$, donc le cosinus de l'angle entre $\overrightarrow{M_k{M}_{k+1}}$ et $\overrightarrow{k}$ vaut $$\frac{p}{\sqrt{2R^2(1-\cos \alpha )+p^2}},$$ lui aussi indépendant de $k$ ; ce quotient est bien défini car $p\ne 0$. Les points sont régulièrement espacés sur une hélice tracée sur le cylindre de rayon $R$, et chaque pas fait le même angle avec l'axe : c'est la propriété qui définit une hélice circulaire, celle d'un filetage ou d'un ressort.

Le point délicat. La base $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },\overrightarrow{k})$ dépend du point : deux points distincts ont deux bases différentes, et l'on ne peut pas additionner leurs coordonnées dans « la » base cylindrique. C'est pourquoi le c) repasse par ${\overrightarrow{u}}_r({\theta }_1)\cdot {\overrightarrow{u}}_r({\theta }_2)=\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)$, qui compare deux bases.

Ce que l'exercice installe. La base locale cylindrique est orthonormée directe, elle tourne avec le point comme une rotation d'angle $\theta$, et la position s'y écrit $\overrightarrow{OM}=r{\overrightarrow{u}}_r+z\overrightarrow{k}$. En mécanique, dès le premier semestre, on dérive cette écriture : la dérivée de ${\overrightarrow{u}}_r$ par rapport à $\theta$ est ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ (on dérive les coordonnées), et la vitesse s'écrit $\dot{r}{\overrightarrow{u}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\dot{z}\overrightarrow{k}$ ; en sciences industrielles, c'est la base naturelle d'une liaison pivot ou d'une liaison hélicoïdale.