mathématiques (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

La tangente par dédoublement, et la puissance d'un point

Géométrie du plan et de l'espace · D. Cercles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Soient $C : x^{2} + y^{2} = R^{2}$ , en repère orthonormé, et $T (x_{0}, y_{0})$ un point de $C$ . Montrer que la tangente à $C$ en $T$ a pour équation $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ . En déduire les tangentes au cercle $x^{2} + y^{2} = 5$ issues du point $P (5, 0)$ .

b) Puissance d'un point. Soient $C$ un cercle de centre $Ω$ et de rayon $R$ , et $P$ un point. Pour une droite passant par $P$ , dirigée par un vecteur unitaire $u$ , qui coupe $C$ en $M$ et $N$ (éventuellement confondus), montrer que $P M \cdot P N = P Ω^{2} - R^{2} .$ (Paramétrer $M = P + t u$ et utiliser le produit des racines de l'équation du second degré obtenue.)

c) En déduire que si $P$ est extérieur au cercle et si $T$ est le point de contact d'une tangente issue de $P$ , alors $P T^{2} = P Ω^{2} - R^{2}$ . Vérifier sur les données du a), puis avec la sécante $y = 0$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La position relative d'une droite et d'un cercle (une droite est tangente au cercle si et seulement si la distance du centre à la droite vaut le rayon, et le point de contact est alors le projeté orthogonal du centre) ; l'expression du produit scalaire en base orthonormée ; les relations entre coefficients et racines d'un trinôme du second degré.

a) La tangente. La tangente en $T$ est la perpendiculaire au rayon en $T$ . En effet, soit $Δ$ la droite passant par $T$ et orthogonale à $O T$ . Le projeté orthogonal de $O$ sur $Δ$ est $T$ lui-même, donc $d (O, Δ) = O T = R$ : $Δ$ est tangente. Réciproquement, une tangente en $T$ touche le cercle au seul projeté de $O$ sur elle, qui doit donc être $T$ : elle est orthogonale à $O T$ . Il y a donc une seule tangente en $T$ , et c'est $Δ$ .

Un point $M (x, y)$ est sur $Δ$ si et seulement si $O T \cdot T M = 0$ : $x_{0} (x - x_{0}) + y_{0} (y - y_{0}) = 0 ⟺ x_{0} x + y_{0} y = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} .$ Comme $T$ est sur le cercle, $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = R^{2}$ , d'où l'équation par dédoublement : $x_{0} x + y_{0} y = R^{2} .$ On remplace $x^{2}$ par $x_{0} x$ et $y^{2}$ par $y_{0} y$ dans l'équation du cercle ; l'hypothèse « $T$ est sur le cercle » sert exactement une fois, à la dernière ligne.

Les tangentes issues de $P (5, 0)$ . Ici $R^{2} = 5$ . Le renversement de point de vue, qui est l'idée : on ne cherche pas la droite, on cherche le point de contact $T (x_{0}, y_{0})$ , qui doit vérifier deux conditions :

$T$ est sur le cercle : $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 5$ ;
la tangente en $T$ passe par $P$ : $5 x_{0} + 0 \times y_{0} = 5$ , soit $x_{0} = 1$ .

La seconde condition est linéaire ; elle donne $x_{0} = 1$ , puis la première $y_{0}^{2} = 4$ , soit $y_{0} = \pm 2$ . Deux points de contact, $T_{1} (1, 2)$ et $T_{2} (1, - 2)$ , et deux tangentes : $x + 2 y = 5 et x - 2 y = 5.$ Contrôle : la distance de $O$ à $x + 2 y = 5$ vaut $\frac{5}{5} = 5 = R$ . Chercher directement les droites $y = m (x - 5)$ tangentes aurait demandé d'annuler un discriminant ; la condition sur le point de contact est du premier degré.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Je paramètre $M = P + t u$ et j'écris $Ω M^{2} = R^{2}$ : j'obtiens une équation du second degré en $t$ . Mais je ne vois pas le lien entre ses racines et le produit scalaire $P M \cdot P N$ .

Si $M = P + t_{1} u$ et $N = P + t_{2} u$ , comment s'écrivent les vecteurs $P M$ et $P N$ , et que vaut leur produit scalaire, sachant que $u$ est unitaire ?

Élève

$P M = t_{1} u$ et $P N = t_{2} u$ , donc le produit scalaire vaut $t_{1} t_{2}$ . Il me faut donc le produit des racines de mon trinôme.

Écris ce trinôme en développant $∥ Ω P + t u ∥^{2}$ : quel est son coefficient dominant, quel est son terme constant, et que te donnent les relations entre coefficients et racines ? Que se passe-t-il quand $M = N$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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