La tangente par dédoublement, et la puissance d'un point

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 9 — Géométrie du plan et de l'espace · D. Cercles

Énoncé

a) Soient $C : x^{2} + y^{2} = R^{2}$ , en repère orthonormé, et $T (x_{0}, y_{0})$ un point de $C$ . Montrer que la tangente à $C$ en $T$ a pour équation $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ . En déduire les tangentes au cercle $x^{2} + y^{2} = 5$ issues du point $P (5, 0)$ .

b) Puissance d'un point. Soient $C$ un cercle de centre $Ω$ et de rayon $R$ , et $P$ un point. Pour une droite passant par $P$ , dirigée par un vecteur unitaire $u$ , qui coupe $C$ en $M$ et $N$ (éventuellement confondus), montrer que $P M \cdot P N = P Ω^{2} - R^{2} .$ (Paramétrer $M = P + t u$ et utiliser le produit des racines de l'équation du second degré obtenue.)

c) En déduire que si $P$ est extérieur au cercle et si $T$ est le point de contact d'une tangente issue de $P$ , alors $P T^{2} = P Ω^{2} - R^{2}$ . Vérifier sur les données du a), puis avec la sécante $y = 0$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La position relative d'une droite et d'un cercle (une droite est tangente au cercle si et seulement si la distance du centre à la droite vaut le rayon, et le point de contact est alors le projeté orthogonal du centre) ; l'expression du produit scalaire en base orthonormée ; les relations entre coefficients et racines d'un trinôme du second degré.

a) La tangente. La tangente en $T$ est la perpendiculaire au rayon en $T$ . En effet, soit $Δ$ la droite passant par $T$ et orthogonale à $O T$ . Le projeté orthogonal de $O$ sur $Δ$ est $T$ lui-même, donc $d (O, Δ) = O T = R$ : $Δ$ est tangente. Réciproquement, une tangente en $T$ touche le cercle au seul projeté de $O$ sur elle, qui doit donc être $T$ : elle est orthogonale à $O T$ . Il y a donc une seule tangente en $T$ , et c'est $Δ$ .

Un point $M (x, y)$ est sur $Δ$ si et seulement si $O T \cdot T M = 0$ : $x_{0} (x - x_{0}) + y_{0} (y - y_{0}) = 0 ⟺ x_{0} x + y_{0} y = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} .$ Comme $T$ est sur le cercle, $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = R^{2}$ , d'où l'équation par dédoublement : $x_{0} x + y_{0} y = R^{2} .$ On remplace $x^{2}$ par $x_{0} x$ et $y^{2}$ par $y_{0} y$ dans l'équation du cercle ; l'hypothèse « $T$ est sur le cercle » sert exactement une fois, à la dernière ligne.

Les tangentes issues de $P (5, 0)$ . Ici $R^{2} = 5$ . Le renversement de point de vue, qui est l'idée : on ne cherche pas la droite, on cherche le point de contact $T (x_{0}, y_{0})$ , qui doit vérifier deux conditions :

$T$ est sur le cercle : $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 5$ ;
la tangente en $T$ passe par $P$ : $5 x_{0} + 0 \times y_{0} = 5$ , soit $x_{0} = 1$ .

La seconde condition est linéaire ; elle donne $x_{0} = 1$ , puis la première $y_{0}^{2} = 4$ , soit $y_{0} = \pm 2$ . Deux points de contact, $T_{1} (1, 2)$ et $T_{2} (1, - 2)$ , et deux tangentes : $x + 2 y = 5 et x - 2 y = 5.$ Contrôle : la distance de $O$ à $x + 2 y = 5$ vaut $\frac{5}{5} = 5 = R$ . Chercher directement les droites $y = m (x - 5)$ tangentes aurait demandé d'annuler un discriminant ; la condition sur le point de contact est du premier degré.

b) La puissance d'un point. Paramétrons la droite : $M = P + t u$ , $t \in R$ . Le point $M$ est sur le cercle si et seulement si $∥ Ω M ∥^{2} = R^{2}$ , avec $Ω M = Ω P + t u$ . Par l'identité remarquable, et parce que $∥ u ∥ = 1$ : $t^{2} + 2 (Ω P \cdot u) t + (Ω P^{2} - R^{2}) = 0.$ Par hypothèse, la droite coupe le cercle en $M = P + t_{1} u$ et $N = P + t_{2} u$ : $t_{1}$ et $t_{2}$ sont les deux racines de ce trinôme (confondues si $M = N$ , auquel cas la racine est double). Le coefficient dominant vaut $1$ , donc le produit des racines est le terme constant : $t_{1} t_{2} = Ω P^{2} - R^{2}$ . Or $P M \cdot P N = (t_{1} u) \cdot (t_{2} u) = t_{1} t_{2} ∥ u ∥^{2} = t_{1} t_{2} .$ D'où $P M \cdot P N = P Ω^{2} - R^{2} .$

Le membre de droite ne dépend pas de la droite choisie : c'est la puissance du point $P$ par rapport au cercle. Son signe dit la position de $P$ : positive si $P$ est extérieur (alors $M$ et $N$ sont du même côté de $P$ ), nulle si $P$ est sur le cercle, négative s'il est intérieur ( $P$ est alors entre $M$ et $N$ ).

c) La longueur de tangente. Si la droite issue de $P$ est tangente en $T$ , elle n'a qu'un point commun avec le cercle : le trinôme a une racine double $t_{1} = t_{2}$ , avec $T = P + t_{1} u$ . Le b) donne alors $t_{1}^{2} = P Ω^{2} - R^{2}$ , et $P T = ∣ t_{1} ∣$ . Donc $P T^{2} = P Ω^{2} - R^{2} .$ C'est aussi Pythagore dans le triangle $P T Ω$ , rectangle en $T$ puisque la tangente est orthogonale au rayon : les deux preuves se contrôlent l'une l'autre.

Vérifications. Avec $P (5, 0)$ , $Ω = O$ et $R^{2} = 5$ : la puissance vaut $25 - 5 = 20$ . Pour $T_{1} (1, 2)$ , $P T_{1}^{2} = (5 - 1)^{2} + 2^{2} = 20$ . Avec la sécante $y = 0$ , qui coupe le cercle en $(5, 0)$ et $(- 5, 0)$ : $P M \cdot P N = (5 - 5) (- 5 - 5) = 25 - 5 = 20$ . Les trois calculs donnent la même puissance.

Ce que l'exercice installe. Deux réflexes. Devant des tangentes issues d'un point, prendre le point de contact pour inconnue : la condition de tangence est déjà encodée dans l'équation de la tangente, et le système est linéaire. Et devant un produit de longueurs le long d'une droite, reconnaître un produit de racines : la puissance d'un point en est l'exemple fondateur. En sciences industrielles, la longueur de tangente $P Ω^{2} - R^{2}$ est la longueur du brin rectiligne d'une courroie ou d'un câble qui quitte une poulie.

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