La trilatération, ou le principe du GPS

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'équation d'une sphère $\Vert \overrightarrow{\Omega M}{\Vert }^2={\rho }^2$ ; l'intersection d'un plan et d'une sphère (vide, un point, ou un cercle, selon la distance du centre au plan) ; deux plans de normales non colinéaires se coupent selon une droite dirigée par le produit vectoriel des normales ; le paramétrage d'une droite.

La stratégie. Chaque équation de sphère est du second degré, mais tous les termes du second degré sont les mêmes : $x^2+y^2+z^2$. La différence de deux équations de sphères est donc linéaire — c'est l'équation d'un plan. On remplace ainsi un système de trois équations du second degré par une équation du second degré et deux équations linéaires.

a) Deux sphères. $M\in {\mathcal{S}}_2$ s'écrit $\Vert \overrightarrow{{\Omega }_{2}M}{\Vert }^2={\rho }_2^2$. Avec $\overrightarrow{{\Omega }_{2}M}=\overrightarrow{{\Omega }_{1}M}-\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}$ et l'identité remarquable : $$\Vert \overrightarrow{{\Omega }_{2}M}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{{\Omega }_{1}M}{\Vert }^2-2\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}\cdot \overrightarrow{{\Omega }_{1}M}+{\Omega }_1{\Omega }_2^2.$$ Pour un point $M$ de ${\mathcal{S}}_1$, on remplace $\Vert \overrightarrow{{\Omega }_{1}M}{\Vert }^2$ par ${\rho }_1^2$ : $M$ est alors sur ${\mathcal{S}}_2$ si et seulement si $$2\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}\cdot \overrightarrow{{\Omega }_{1}M}={\rho }_1^2-{\rho }_2^2+{\Omega }_1{\Omega }_2^2.$$ Donc ${\mathcal{S}}_1\cap {\mathcal{S}}_2={\mathcal{S}}_1\cap {\Pi }_{12}$, où ${\Pi }_{12}$ est l'ensemble des points vérifiant cette équation. Comme $\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}\ne \overrightarrow{0}$, c'est une ligne de niveau de $M\mapsto \overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}\cdot \overrightarrow{{\Omega }_{1}M}$ : un plan de vecteur normal $\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}$, donc orthogonal à la droite des centres. Et l'intersection d'une sphère et d'un plan est, d'après le cours, vide, réduite à un point, ou un cercle — le cercle étant centré sur la droite des centres, puisque le projeté de ${\Omega }_1$ sur ${\Pi }_{12}$ est sur la normale issue de ${\Omega }_1$.

b) Trois sphères. Les plans ${\Pi }_{12}$ et ${\Pi }_{13}$ ont pour normales $\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}$ et $\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_3}$, qui ne sont pas colinéaires puisque les centres ne sont pas alignés. Ils se coupent donc selon une droite $\Delta$, dirigée par $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_2}\wedge \overrightarrow{{\Omega }_1{\Omega }_3}$, qui est un vecteur normal au plan $({\Omega }_1{\Omega }_2{\Omega }_3)$ : $\Delta$ est orthogonale au plan des centres. Ensuite, par a) appliqué deux fois, $${\mathcal{S}}_1\cap {\mathcal{S}}_2\cap {\mathcal{S}}_3={\mathcal{S}}_1\cap {\Pi }_{12}\cap {\Pi }_{13}={\mathcal{S}}_1\cap \Delta .$$ Notons $K$ le point où $\Delta$ perce le plan des centres (une droite orthogonale à un plan le coupe en un point). Les points de $\Delta$ s'écrivent $K+t\overrightarrow{w}$, et $\overrightarrow{{\Omega }_{1}K}$ est orthogonal à $\overrightarrow{w}$, puisque ${\Omega }_1$ et $K$ sont dans le plan des centres. Par Pythagore, $K+t\overrightarrow{w}$ est sur ${\mathcal{S}}_1$ si et seulement si $${\Omega }_1{K}^2+t^2\Vert \overrightarrow{w}{\Vert }^2={\rho }_1^2.$$ Cette équation en $t$ a au plus deux solutions, opposées : $t$ et $-t$. Les deux points $K+t\overrightarrow{w}$ et $K-t\overrightarrow{w}$ sont symétriques par rapport à $K$ le long d'une droite orthogonale au plan des centres, donc symétriques par rapport au plan $({\Omega }_1{\Omega }_2{\Omega }_3)$. Il y a zéro, un (si $t=0$, le point $K$ lui-même) ou deux points communs.

c) Application. Les trois équations sont $${\mathcal{S}}_1:x^2+y^2+z^2=9,{\mathcal{S}}_2:(x-4{)}^2+y^2+z^2=17,{\mathcal{S}}_3:x^2+(y-4{)}^2+z^2=9.$$ En soustrayant, ${\mathcal{S}}_1-{\mathcal{S}}_2$ donne $8x-16=-8$, soit $x=1$ ; et ${\mathcal{S}}_1-{\mathcal{S}}_3$ donne $8y-16=0$, soit $y=2$. On reporte dans ${\mathcal{S}}_1$ : $z^2=9-1-4=4$, d'où $z=\pm 2$. Deux positions possibles : $(1,2,2)$ et $(1,2,-2)$, symétriques par rapport au plan $z=0$ qui contient les trois balises, comme l'annonçait b). Contrôle pour $(1,2,2)$ : distance à ${\Omega }_2$ au carré, $9+4+4=17$ ; à ${\Omega }_3$, $1+4+4=9$.

d) La quatrième balise. Pour $(1,2,2)$, la distance à ${\Omega }_4(0,0,4)$ vaut au carré $1+4+4=9$, soit $3$ ; pour $(1,2,-2)$, elle vaut au carré $1+4+36=41$. Le récepteur est en $(1,2,2)$. La quatrième mesure tranche entre les deux candidats — parce que ${\Omega }_4$ n'est pas dans le plan des trois premières balises.

Le GPS. Un récepteur ne mesure pas directement des distances : il mesure des temps de trajet de signaux, avec une horloge dont il ignore le décalage par rapport à celle des satellites. Ce décalage est une quatrième inconnue, qui s'ajoute aux trois coordonnées : il faut donc au moins quatre équations, c'est-à-dire quatre satellites. La géométrie de l'exercice explique la structure : trois sphères laissent deux candidats symétriques, et une donnée de plus lève l'ambiguïté.

Le point délicat. L'égalité ${\mathcal{S}}_1\cap {\mathcal{S}}_2={\mathcal{S}}_1\cap {\Pi }_{12}$ est une équivalence, pas une simple implication : on n'a pas remplacé la seconde sphère par le plan, on l'a remplacée par le plan à condition de garder la première sphère. Le plan seul ne suffit pas, il contient des points hors des sphères.

Ce que l'exercice installe. La différence de deux équations de sphères est linéaire : c'est ce qui ramène un problème d'intersections de sphères à un système linéaire, que le chapitre sur les systèmes et le rang sait résoudre, suivi d'une seule équation du second degré. Et trois contraintes de distance à des points non alignés laissent au plus deux positions, symétriques : en physique, c'est le principe de toute localisation par temps de vol, du GPS au sonar.