Le lieu des points où $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ est constant

Stratégie : ramener le produit scalaire à une seule distance, en passant par le milieu. L'expression $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ dépend a priori de deux distances et d'un angle ; l'identité de polarisation, écrite au milieu de $[AB]$, la réduit à la seule quantité $MI$ — et l'ensemble cherché devient alors une équation en $MI$, c'est-à-dire un cercle.

1) La réduction. Soit $I$ le milieu de $[AB]$, de sorte que $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$ et $IA=IB=a$. Décomposons par Chasles :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot \left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right).$$

C'est une identité remarquable — le produit d'une somme par une différence —, licite parce que le produit scalaire est bilinéaire et symétrique :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-I{A}^2=M{I}^2-a^2.$$

⚠️ Toute la démonstration tient au choix du point $I$. C'est parce que $I$ est le milieu que $\overrightarrow{IB}$ est l'opposé de $\overrightarrow{IA}$, donc que la somme et la différence apparaissent, donc que l'identité remarquable s'applique. Avec n'importe quel autre point, on obtiendrait une expression où subsisterait un terme croisé, et le lieu ne serait plus lisible.

2) La discussion. L'appartenance à ${\Gamma }_k$ équivaut donc à

$$M{I}^2=k+a^2.$$

Le membre de gauche est un carré de distance : il est positif ou nul, et il détermine $MI$ de façon unique. Trois cas selon le signe de $k+a^2$ :

condition sur $k$	valeur de $MI$	l'ensemble ${\Gamma }_k$
$k>-a^2$	$MI=\sqrt{k+a^2}>0$	le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{k+a^2}$
$k=-a^2$	$MI=0$	le point $I$, et lui seul
$k<-a^2$	impossible	l'ensemble vide

3) Deux valeurs remarquables. Pour $k=0$, on retrouve le cercle de centre $I$ et de rayon $a=\frac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ — la caractérisation du cours par l'angle droit. Pour $k=-a^2$, l'ensemble se réduit au milieu : la quantité $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ atteint donc son minimum en $I$, et ce minimum vaut $-a^2$. Les ${\Gamma }_k$ forment ainsi une famille de cercles concentriques, emboîtés autour de $I$, qui sont les lignes de niveau de la fonction $M\mapsto \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$.

Contrôle numérique. Prenons $A(-1,0)$ et $B(1,0)$, donc $I=O$ et $a=1$. Pour $M(x,y)$ :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(-1-x)(1-x)+(-y)(-y)=x^2-1+y^2=M{I}^2-1,$$

conformément à la formule. ✔ Avec $k=3$ : le lieu doit être le cercle de rayon $\sqrt{3+1}=2$ ; et de fait $M(2,0)$ donne $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(-3)(-1)+0=3$ ✔. Avec $k=-1$ : seul $M=O$ convient, et $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(-1)(1)=-1$ ✔.

Ce que l'exercice installe. Un lieu géométrique défini par une condition métrique se cherche en réduisant l'expression à une seule distance ; l'équation devient alors « $MI$ égale une constante », c'est-à-dire un cercle, ou dans l'espace une sphère, le calcul étant mot pour mot le même. Et l'on retient l'identité de polarisation $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{A{B}^2}{4}$, qui redonne à elle seule la caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$.