Le tétraèdre découpé par quatre inégalités

Stratégie : identifier d'abord les frontières, ensuite les sommets, enfin le volume. Chaque inégalité large définit un demi-espace fermé, limité par un plan ; l'ensemble cherché est l'intersection de quatre demi-espaces, donc un solide à faces planes. On le décrit par ses sommets, puis on calcule son volume par un produit mixte.

1) Les quatre demi-espaces. Les inégalités $x\ge 0$, $y\ge 0$ et $z\ge 0$ décrivent les points situés du bon côté des trois plans de coordonnées ; leur intersection est le « premier huitième » de l'espace, celui où les trois coordonnées sont positives. L'inégalité $x+y+z\le 1$ ajoute le demi-espace limité par le plan

$$\mathcal{P}:x+y+z=1,$$

celui qui contient l'origine — on le vérifie en évaluant : $0+0+0=0\le 1$. ✔

2) Les sommets. Un sommet est un point où trois des quatre frontières se rencontrent. Les trois plans de coordonnées se coupent en $O(0,0,0)$, qui vérifie bien $0\le 1$. Et le plan $\mathcal{P}$ coupe les trois axes en

$$I(1,0,0),J(0,1,0),K(0,0,1).$$

L'ensemble est donc le tétraèdre de sommets $O$, $I$, $J$, $K$ : trois faces sont des triangles rectangles isocèles portés par les plans de coordonnées, la quatrième est le triangle équilatéral $IJK$, porté par $\mathcal{P}$. C'est le solide qu'on obtiendrait en tranchant le coin d'un cube.

⚠️ Le point délicat est de ne pas confondre les quatre inégalités avec quatre faces indépendantes. Ce sont bien quatre plans, donc quatre faces — mais il fallait vérifier que chacune contribue réellement. Si l'on remplaçait $x+y+z\le 1$ par $x+y+z\le 5$ tout en gardant $x\le 1$, une inégalité deviendrait superflue et le solide n'aurait pas la forme attendue. Ici, la description par les sommets est la preuve qu'aucune contrainte n'est redondante : chacun des quatre plans porte effectivement une face.

3) Le volume par le produit mixte. Le cours donne le volume du tétraèdre construit sur trois vecteurs issus d'un même sommet : c'est le sixième de la valeur absolue de leur produit mixte. Ici, depuis $O$ :

$$\overrightarrow{OI}=(1,0,0),\overrightarrow{OJ}=(0,1,0),\overrightarrow{OK}=(0,0,1),$$

dont le produit mixte est le déterminant de la matrice identité, c'est-à-dire $1$. D'où

$$\boxed{\mathcal{V}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OK}\right]\right|=\frac{1}{6}.}$$

Le facteur $\frac{1}{6}$, et d'où il vient. Le produit mixte donne le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs — ici le cube unité, de volume $1$. Le tétraèdre en occupe la sixième partie : un facteur $\frac{1}{2}$ parce que le triangle $OIJ$ est la moitié du carré de base, puis un facteur $\frac{1}{3}$ parce que le volume d'un solide pointu vaut le tiers de « base fois hauteur ». On peut d'ailleurs le recalculer ainsi : la base $OIJ$ a pour aire $\frac{1}{2}$, la hauteur $OK$ vaut $1$, donc $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$. ✔

Contrôle numérique. Le point $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ vérifie les quatre inégalités — les trois coordonnées sont positives, et leur somme vaut $\frac{3}{4}\le 1$ — il est donc dans le tétraèdre. ✔ Le point $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, lui, a une somme égale à $\frac{3}{2}>1$ : il est en dehors. ✔ Et le milieu de $[I,J]$, soit $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$, est sur la face portée par $\mathcal{P}$ : sa somme vaut exactement $1$. ✔

Ce que l'exercice installe. Un système d'inégalités linéaires décrit un solide à faces planes, et on le lit en cherchant ses sommets, c'est-à-dire en résolvant les systèmes obtenus en transformant trois inégalités en égalités. Le produit mixte donne ensuite le volume sans aucune intégration. C'est le point de départ de la programmation linéaire, où l'on optimise une fonction sur un tel domaine.