mathématiques (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Le théorème de Huygens, et les lignes de niveau de $\sum m_{i} M A_{i}^{2}$

Géométrie du plan et de l'espace · B. Produit scalaire dans le plan · niveau 2

Énoncé

Soient $A_{1}, \dots, A_{n}$ des points du plan et $m_{1}, \dots, m_{n}$ des réels strictement positifs (des masses) ; on note $m = m_{1} + \dots + m_{n}$ .

a) Montrer qu'il existe un unique point $G$ tel que $\sum_{i = 1}^{n} m_{i} G A_{i} = 0$ , et que $O G = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} O A_{i}$ pour tout point $O$ . (C'est le centre de masse du système.)

b) En écrivant $M A_{i} = M G + G A_{i}$ , démontrer le théorème de Huygens : pour tout point $M$ , $i = 1 \sum n m_{i} M A_{i}^{2} = m M G^{2} + i = 1 \sum n m_{i} G A_{i}^{2} .$

c) En déduire que la fonction $f : M \mapsto \sum_{i = 1}^{n} m_{i} M A_{i}^{2}$ atteint son minimum en un unique point, et décrire, selon $k \in R$ , ses lignes de niveau ${M : f (M) = k}$ .

d) Retrouver l'identité de la médiane : si $I$ est le milieu de $[A B]$ , $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ . En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = A B^{2}$ .

e) Soit $A B C$ un triangle équilatéral de côté $a$ . Déterminer le minimum de $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ et l'ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 2 a^{2}$ : le reconnaître.

f) Que devient le calcul quand la somme des coefficients est nulle ? Montrer que $M A^{2} - M B^{2} = 2 I M \cdot A B$ , où $I$ est le milieu de $[A B]$ , et en déduire que les lignes de niveau de $M \mapsto M A^{2} - M B^{2}$ sont des droites perpendiculaires à $(A B)$ . Laquelle correspond au niveau $0$ ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de Chasles, la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire, l'identité remarquable $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ , et, pour le f), les lignes de niveau de $M \mapsto u \cdot A M$ .

La stratégie. Une somme de carrés de distances à plusieurs points se calcule mal telle quelle : chaque terme fait intervenir un point différent. On insère partout le même point intermédiaire par Chasles, et on le choisit pour que les termes croisés s'annulent en bloc. Ce point, c'est le centre de masse.

a) Existence et unicité de $G$ . Fixons un point $O$ quelconque. Pour tout point $P$ , Chasles donne $P A_{i} = P O + O A_{i}$ , donc $i = 1 \sum n m_{i} P A_{i} = m P O + i = 1 \sum n m_{i} O A_{i} .$ Ce vecteur est nul si et seulement si $m O P = \sum m_{i} O A_{i}$ , c'est-à-dire, puisque $m > 0$ , si et seulement si $O P = \frac{1}{m} i = 1 \sum n m_{i} O A_{i} .$ Un vecteur $O P$ donné détermine un unique point $P$ : il existe donc un et un seul point $G$ qui convient, et la formule vaut pour tout choix de $O$ , puisque $O$ était quelconque.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En écrivant $M A_{i} = M G + G A_{i}$ , démontrer le théorème de Huygens : pour tout point $M$ , $i = 1 \sum n m_{i} M A_{i}^{2} = m M G^{2} + i = 1 \sum n m_{i} G A_{i}^{2} .$

Élève

Après avoir développé $M A_{i}^{2} = M G^{2} + 2 M G \cdot G A_{i} + G A_{i}^{2}$ et sommé, il me reste les termes croisés. Je ne vois pas pourquoi ils disparaîtraient : chacun n'a aucune raison d'être nul.

Tu as raison, aucun n'est nul en général. Mais ils ont un facteur commun : lequel, et quelle propriété du produit scalaire te permet de regrouper leur somme en un seul produit ?

Élève

Le vecteur $M G$ figure dans tous. Par linéarité en la seconde variable, la somme devient $2 M G \cdot \sum_{i} m_{i} G A_{i}$ .

Exactement. Que t'apprend le a) sur $\sum_{i} m_{i} G A_{i}$ ? Et si tu avais inséré un autre point $P$ que $G$ par Chasles, quel terme supplémentaire subsisterait dans la formule ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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