Les deux plans tangents d'une direction donnée

Stratégie : un plan est tangent à une sphère si et seulement si sa distance au centre vaut le rayon. On paramètre donc la famille des plans parallèles au plan donné par une seule constante, on écrit cette condition de distance, et l'on résout — une équation avec valeur absolue, donc deux solutions.

1) La sphère. Mettons son équation sous forme canonique :

$$x^2+y^2+z^2-2x=8⟺(x-1{)}^2-1+y^2+z^2=8⟺(x-1{)}^2+y^2+z^2=9.$$

C'est la sphère de centre $\Omega (1,0,0)$ et de rayon $R=3$.

2) La famille des plans parallèles. Deux plans sont parallèles si et seulement s'ils ont le même vecteur normal, à un facteur près. Les plans parallèles à $\mathcal{P}:2x-y+2z=0$ sont donc exactement les plans

$${\mathcal{P}}_d:2x-y+2z=d,d\in \mathbb{R}.$$

Le vecteur normal $\overrightarrow{n}(2,-1,2)$ a pour norme $\sqrt{4+1+4}=3$ — une norme entière, ce qui va rendre tous les calculs exacts.

3) La condition de tangence.

$$d(\Omega ,{\mathcal{P}}_d)=\frac{\left|2\times 1-0+2\times 0-d\right|}{3}=\frac{|2-d|}{3}.$$

Elle vaut $R=3$ si et seulement si $|2-d|=9$, c'est-à-dire $d=11$ ou $d=-7$ :

$$\boxed{{\mathcal{P}}_1:2x-y+2z=11\text{et}{\mathcal{P}}_2:2x-y+2z=-7.}$$

⚠️ Deux plans, et il faut les deux. La valeur absolue produit deux solutions, et les oublier à moitié est l'erreur classique : géométriquement, une sphère a deux plans tangents dans chaque direction, un de chaque côté. Ils sont symétriques par rapport au centre, ce qu'on lit sur les valeurs de $d$ : elles sont à égale distance de $2$, la valeur qui correspondrait au plan passant par $\Omega$.

4) Les points de contact. Le point de contact est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan ; on l'obtient en parcourant la normale issue de $\Omega$ :

$$M_t=\Omega +t\overrightarrow{n}=(1+2t,-t,2t).$$

En reportant dans l'équation du plan : $2(1+2t)+t+4t=2+9t=d$.

• Pour $d=11$ : $9t=9$, donc $t=1$ et le point de contact est $T_1(3,-1,2)$.
• Pour $d=-7$ : $9t=-9$, donc $t=-1$ et le point de contact est $T_2(-1,1,-2)$.

Contrôles numériques. Le point $T_1(3,-1,2)$ est sur la sphère : $(3-1{)}^2+1+4=4+1+4=9=R^2$ ✔ ; et sur le plan : $6+1+4=11$ ✔. Le point $T_2(-1,1,-2)$ est sur la sphère : $4+1+4=9$ ✔ ; et sur le plan : $-2-1-4=-7$ ✔. Enfin, les deux points de contact sont symétriques par rapport à $\Omega (1,0,0)$, puisque leur milieu est $\left(\frac{3-1}{2},\frac{-1+1}{2},\frac{2-2}{2}\right)=(1,0,0)=\Omega$ ✔ — la cohérence géométrique attendue.

Ce que l'exercice installe. Toutes les questions de tangence, dans le plan comme dans l'espace, se ramènent à une comparaison entre une distance et un rayon : pas de discriminant, pas de système à résoudre. Et le point de contact ne se cherche pas non plus : c'est le projeté du centre, obtenu en suivant la normale.