Lignes de niveau et régionnement

Stratégie : traduire les deux fonctions en coordonnées, puis reconnaître des droites. Le produit scalaire et le produit mixte avec un vecteur fixe sont tous deux des expressions affines en $(x,y)$ : leurs lignes de niveau sont donc des droites, et l'on peut lire directement leur direction.

1) Les deux fonctions en coordonnées. Avec $M(x,y)$, on a $\overrightarrow{AM}(x-1,y-1)$, donc

$$f(M)=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AM}=2(x-1)+1(y-1)=2x+y-3,$$

$$g(M)=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right]=2(y-1)-1(x-1)=-x+2y-1.$$

2) Les lignes de niveau. La ligne de niveau $f=k$ est la droite $2x+y=3+k$, dont un vecteur normal est $(2,1)=\overrightarrow{u}$ : les lignes de niveau du produit scalaire sont les droites perpendiculaires à $\overrightarrow{u}$. La ligne de niveau $g=k$ est la droite $-x+2y=1+k$, dont un vecteur normal est $(-1,2)$, donc un vecteur directeur $(2,1)=\overrightarrow{u}$ : les lignes de niveau du produit mixte sont les droites parallèles à $\overrightarrow{u}$.

Les deux familles sont donc deux faisceaux de droites parallèles, perpendiculaires l'un à l'autre, et les deux droites de niveau $0$ passent toutes deux par $A$ — puisque $f(A)=g(A)=0$.

⚠️ Ces deux fonctions ont chacune une lecture géométrique, et c'est elle qu'il faut retenir. À un facteur $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$ près, $f(M)$ est la mesure algébrique de la projection de $\overrightarrow{AM}$ sur $\overrightarrow{u}$ : elle dit jusqu'où on avance dans la direction de $\overrightarrow{u}$. Toujours à ce facteur près, $g(M)$ est la distance algébrique de $M$ à la droite passant par $A$ dirigée par $\overrightarrow{u}$ : elle dit de combien on s'écarte de cette droite, et de quel côté. L'un mesure le long, l'autre en travers.

3) L'ensemble $\{f\ge 0\text{et}g\ge 0\}$. Chaque inégalité définit un demi-plan fermé bordé par la droite de niveau $0$ correspondante, et les deux droites de bord passent par $A(1,1)$ et sont perpendiculaires. L'intersection est donc un quart de plan de sommet $A$, limité par la perpendiculaire à $\overrightarrow{u}$ en $A$ et par la droite dirigée par $\overrightarrow{u}$ passant par $A$ :

$$\boxed{\left\{(x,y):2x+y-3\ge 0\text{ et }-x+2y-1\ge 0\right\}.}$$

C'est le secteur des points qui sont à la fois « en avant » de $A$ dans la direction de $\overrightarrow{u}$ et « à gauche » de la droite $\left(A,\overrightarrow{u}\right)$, le mot gauche désignant le côté vers lequel pointe le quart de tour direct de $\overrightarrow{u}$, à savoir le vecteur $\overrightarrow{v}(-1,2)$.

Contrôle numérique. Le point $A+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(1+2-1,1+1+2)=(2,4)$ doit appartenir au quart de plan : $f=4+4-3=5\ge 0$ ✔ et $g=-2+8-1=5\ge 0$ ✔. Le point symétrique $A-\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(0,-2)$ doit en être exclu : $f=0-2-3=-5<0$ ✔. Et $A$ lui-même est sur le bord : $f(A)=g(A)=0$ ✔.

Ce que l'exercice installe. Le couple $\left(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AM},\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right]\right)$ est un système de coordonnées attaché au point $A$ et à la direction $\overrightarrow{u}$ : la première composante mesure l'avancée, la seconde l'écart latéral signé. Les régionnements du plan se décrivent alors sans effort, par des signes.