Plan par trois points et distance

1. $\overrightarrow{AB}(-1,1,1)$ et $\overrightarrow{AC}(1,-1,3)$ ne sont pas colinéaires (les deux premières coordonnées sont opposées mais pas les troisièmes). Normale :

$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}1\times 3-1\times (-1)\\ 1\times 1-(-1)\times 3\\ (-1)\times (-1)-1\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0\end{array}\right),$$

non nul : points non alignés. Équation (en divisant $\overrightarrow{n}$ par 4) : $(x-1)+(y-1)=0$, soit $x+y-2=0$. Contrôles : $B:0+2-2=0$ ✔, $C:2+0-2=0$ ✔.

2. $d(D,(ABC))=\frac{|1+1-2|}{\sqrt{2}}=0$ : le point $D$... appartient au plan ! Le « tétraèdre » est aplati, de volume nul. Reprenons avec $D(3,1,5)$ : $d=\frac{|3+1-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, et par le produit mixte, avec $\overrightarrow{AD}(2,0,5)$ :

$$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AD}=8+0+0=8,V_{ABCD}=\frac{|8|}{6}=\frac{4}{3}.$$

Cohérence : l'aire de $ABC$ vaut $\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{n}\Vert =2\sqrt{2}$, et $\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=\frac{4}{3}$. ✔