Plans, angle dièdre et famille de plans

1. ${\overrightarrow{n}}_1(1,1,-1)$ et ${\overrightarrow{n}}_2(1,-1,2)$ ne sont pas colinéaires : plans sécants. Et :

$$\cos \left(\widehat{{\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2}\right)=\frac{{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2}{\Vert {\overrightarrow{n}}_1\Vert \Vert {\overrightarrow{n}}_2\Vert }=\frac{1-1-2}{\sqrt{3}\sqrt{6}}=\frac{-2}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

(L'angle entre les plans est l'angle aigu associé, de cosinus $\frac{\sqrt{2}}{3}$.)

2. Pivot : la somme des deux équations donne $2x+z=3$, soit $z=3-2x$ ; la première donne $y=z-x=3-3x$. Point courant $(t,3-3t,3-2t)$ : $\mathcal{D}$ passe par $A(0,3,3)$ et est dirigée par $\overrightarrow{u}(1,-3,-2)$. Contrôle : ${\overrightarrow{n}}_1\wedge {\overrightarrow{n}}_2=(1\times 2-(-1)(-1),(-1)\times 1-1\times 2,1\times (-1)-1\times 1)=(1,-3,-2)$. ✔

3. Posons $f_1(M)=x+y-z$ et $f_2(M)=x-y+2z-3$. Pour tout $\lambda$, l'équation $f_1+\lambda f_2=0$ est du premier degré, de vecteur normal ${\overrightarrow{n}}_1+\lambda {\overrightarrow{n}}_2\ne \overrightarrow{0}$ (sinon ${\overrightarrow{n}}_1$ et ${\overrightarrow{n}}_2$ seraient colinéaires) : c'est un plan, et il contient $\mathcal{D}$ puisque tout point de $\mathcal{D}$ annule $f_1$ et $f_2$. Réciproquement, si un plan $\mathcal{Q}$ contient $\mathcal{D}$ et n'est pas ${\mathcal{P}}_2$, il contient un point $F\notin {\mathcal{P}}_2$ (donc $f_2(F)\ne 0$) : le plan $f_1+\lambda f_2=0$ avec $\lambda =-\frac{f_1(F)}{f_2(F)}$ contient alors $\mathcal{D}$ et $F$, donc coïncide avec $\mathcal{Q}$ (deux plans distincts ne peuvent avoir en commun une droite et un point extérieur). Application : cherchons $\lambda$ tel que le plan passe par $E$ : $f_1(E)+\lambda f_2(E)=1+\lambda (-1)=0$ donne $\lambda =1$, d'où le plan $2x+z-3=0$. Vérifications : $E:2+1-3=0$ ✔ ; le point courant de $\mathcal{D}$ : $2t+(3-2t)-3=0$ pour tout $t$ ✔. Ce procédé (« faisceau de plans ») évite tout paramétrage pour trouver un plan contenant une droite donnée par un système.