Plans, angle dièdre et famille de plans

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 9 — Géométrie du plan et de l'espace · F. Plans et droites de l'espace

Énoncé

Soient $P_{1} : x + y - z = 0$ et $P_{2} : x - y + 2 z = 3$ .

Justifier que $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants et calculer le cosinus de l'angle géométrique entre leurs normales.
Déterminer une représentation paramétrique de $D = P_{1} \cap P_{2}$ .
Montrer que tout plan contenant $D$ , autre que $P_{2}$ , a une équation de la forme $(x + y - z) + λ (x - y + 2 z - 3) = 0$ avec $λ \in R$ , et trouver celui qui passe par le point $E (1, 1, 1)$ .

Corrigé

1. $n_{1} (1, 1, - 1)$ et $n_{2} (1, - 1, 2)$ ne sont pas colinéaires : plans sécants. Et :

$cos (n_{1}, n_{2}) = \frac{n _{1} \cdot n _{2}}{∥ n _{1} ∥ ∥ n _{2} ∥} = \frac{1 - 1 - 2}{3 6} = \frac{- 2}{3 2} = - \frac{2}{3} .$

(L'angle entre les plans est l'angle aigu associé, de cosinus $\frac{2}{3}$ .)

2. Pivot : la somme des deux équations donne $2 x + z = 3$ , soit $z = 3 - 2 x$ ; la première donne $y = z - x = 3 - 3 x$ . Point courant $(t, 3 - 3 t, 3 - 2 t)$ : $D$ passe par $A (0, 3, 3)$ et est dirigée par $u (1, - 3, - 2)$ . Contrôle : $n_{1} \land n_{2} = (1 \times 2 - (- 1) (- 1), (- 1) \times 1 - 1 \times 2, 1 \times (- 1) - 1 \times 1) = (1, - 3, - 2)$ . ✔

3. Posons $f_{1} (M) = x + y - z$ et $f_{2} (M) = x - y + 2 z - 3$ . Pour tout $λ$ , l'équation $f_{1} + λ f_{2} = 0$ est du premier degré, de vecteur normal $n_{1} + λ n_{2} \neq = 0$ (sinon $n_{1}$ et $n_{2}$ seraient colinéaires) : c'est un plan, et il contient $D$ puisque tout point de $D$ annule $f_{1}$ et $f_{2}$ . Réciproquement, si un plan $Q$ contient $D$ et n'est pas $P_{2}$ , il contient un point $F \in / P_{2}$ (donc $f_{2} (F) \neq = 0$ ) : le plan $f_{1} + λ f_{2} = 0$ avec $λ = - \frac{f _{1} ( F )}{f _{2} ( F )}$ contient alors $D$ et $F$ , donc coïncide avec $Q$ (deux plans distincts ne peuvent avoir en commun une droite et un point extérieur). Application : cherchons $λ$ tel que le plan passe par $E$ : $f_{1} (E) + λ f_{2} (E) = 1 + λ (- 1) = 0$ donne $λ = 1$ , d'où le plan $2 x + z - 3 = 0$ . Vérifications : $E : 2 + 1 - 3 = 0$ ✔ ; le point courant de $D$ : $2 t + (3 - 2 t) - 3 = 0$ pour tout $t$ ✔. Ce procédé (« faisceau de plans ») évite tout paramétrage pour trouver un plan contenant une droite donnée par un système.

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