Problème : le théorème de l'axe central

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 9 — Géométrie du plan et de l'espace · E. Produits vectoriel et mixte dans l'espace

Énoncé

L'espace est orienté et rapporté à un repère orthonormé direct $(O, , , k)$ . Un solide est soumis à des forces $F_{1}, \dots, F_{n}$ appliquées aux points $A_{1}, \dots, A_{n}$ . On appelle résultante le vecteur $R = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}$ et moment en un point $P$ le vecteur $M_{P} = i = 1 \sum n P A_{i} \land F_{i} .$

1) Le double produit vectoriel. Montrer, en coordonnées, que pour tous vecteurs $a$ , $b$ , $c$ : $a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c .$ Calculer $( \land ) \land $ et $ \land ( \land )$ : le produit vectoriel est-il associatif ?

2) L'équation $a \land x = b$ . Soient $a \neq = 0$ et $b$ deux vecteurs.

(a) Montrer que si l'équation $a \land x = b$ , d'inconnue $x$ , a une solution, alors $a \cdot b = 0$ .
(b) On suppose $a \cdot b = 0$ . Vérifier à l'aide de 1) que $x_{0} = \frac{b \land a}{∥ a ∥ ^{2}}$ est solution.
(c) Montrer que l'ensemble des solutions est alors $x_{0} + Vect (a)$ .

3) Le champ des moments.

(a) Montrer la formule de transport : pour tous points $P$ et $Q$ , $M_{Q} = M_{P} + QP \land R$ .
(b) En déduire que $M_{P} \cdot P Q = M_{Q} \cdot P Q$ (le champ est équiprojectif) et que le produit scalaire $R \cdot M_{P}$ ne dépend pas de $P$ (c'est l'invariant scalaire).
(c) Si $R = 0$ , que dire du champ des moments ?

4) L'axe central. On suppose $R \neq = 0$ et on note $Δ$ l'ensemble des points $P$ tels que $M_{P}$ soit colinéaire à $R$ . Justifier, par 3a), que $M_{P} = M_{O} + R \land O P$ . En écrivant $M_{P} = μ R$ , montrer que nécessairement $μ = \frac{R \cdot M _{O}}{∥ R ∥ ^{2}}$ , puis, grâce à 2), que $Δ$ est la droite passant par le point $P_{0}$ défini par $O P_{0} = \frac{R \land M _{O}}{∥ R ∥ ^{2}}$ et dirigée par $R$ .

5) Le moment minimal. Montrer que pour tout point $P$ , $∥ M_{P} ∥^{2} = ∥ M_{P_{0}} ∥^{2} + ∥ P P_{0} \land R ∥^{2}$ . En déduire que $∥ M_{P} ∥$ est minimale exactement lorsque $P \in Δ$ , et que ce minimum vaut $\frac{∣ R \cdot M _{O} ∣}{∥ R ∥}$ .

6) Application. Une force $F_{1} =  + $ est appliquée en $O$ et une force $F_{2} = k$ au point $A_{2} (0, 1, 0)$ . Calculer $R$ , $M_{O}$ , l'invariant scalaire, une représentation paramétrique de l'axe central et le moment minimal. Énoncer le théorème démontré.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le produit vectoriel : bilinéarité, antisymétrie, expression en base orthonormée directe, condition de colinéarité, et le fait que $u \land v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ ; le produit mixte, nul dès que deux vecteurs sont colinéaires ; les droites de l'espace $A + Vect (u)$ . Le double produit vectoriel n'est pas un résultat du cours : la question 1) le démontre. Le mot « torseur », que les sciences industrielles emploient pour ce couple résultante-moment, n'est pas un objet du programme de mathématiques : l'énoncé définit tout ce qu'il utilise.

1) Le double produit vectoriel. Notons $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ , $c = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ . D'après le cours, $w = b \land c = (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}, b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3}, b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) .$ La première coordonnée de $a \land w$ est $a_{2} w_{3} - a_{3} w_{2}$ : $a_{2} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) - a_{3} (b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3}) = b_{1} (a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) - c_{1} (a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) .$ On ajoute et on retranche $a_{1} b_{1} c_{1}$ : $a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} = a \cdot c - a_{1} c_{1}$ et $a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = a \cdot b - a_{1} b_{1}$ . Les deux termes en $a_{1} b_{1} c_{1}$ se compensent, et il reste $b_{1} (a \cdot c) - c_{1} (a \cdot b),$ qui est bien la première coordonnée de $(a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ . Les formules du produit vectoriel et du produit scalaire sont invariantes quand on permute circulairement les indices $1 \to 2 \to 3 \to 1$ ; le même calcul, indices permutés, donne donc les deuxième et troisième coordonnées. L'identité est démontrée.

La non-associativité. $( \land ) \land  = 0 \land  = 0$ , tandis que $ \land ( \land ) =  \land k = - $ — ce que redonne la formule : $( \cdot )  - ( \cdot )  = - $ . Les deux résultats diffèrent : le produit vectoriel n'est pas associatif, et le placement des parenthèses compte.

2) L'équation $a \land x = b$ .

(a) Si $a \land x = b$ , alors $b$ est un produit vectoriel par $a$ , donc orthogonal à $a$ : $a \cdot b = 0$ . C'est une condition nécessaire de compatibilité.

(b) Supposons $a \cdot b = 0$ . Par bilinéarité puis par 1) : $a \land x_{0} = \frac{a \land ( b \land a )}{∥ a ∥ ^{2}} = \frac{( a \cdot a ) b - ( a \cdot b ) a}{∥ a ∥ ^{2}} = b,$ puisque $a \cdot b = 0$ et $a \cdot a = ∥ a ∥^{2}$ . $x_{0}$ est solution.

(c) Pour tout $x$ , par bilinéarité, $a \land x = b$ équivaut à $a \land x = a \land x_{0}$ , c'est-à-dire à $a \land (x - x_{0}) = 0$ . Par la condition de colinéarité, et puisque $a \neq = 0$ , c'est dire que $x - x_{0} = λ a$ pour un réel $λ$ . L'ensemble des solutions est $x_{0} + Vect (a) .$ Une solution particulière plus toutes les solutions de l'équation « sans second membre » $a \land x = 0$ : c'est la structure qu'on retrouvera pour les systèmes linéaires et les équations différentielles linéaires.

3) Le champ des moments.

(a) Pour chaque $i$ , Chasles donne $Q A_{i} = QP + P A_{i}$ . Par bilinéarité, $M_{Q} = i = 1 \sum n QP \land F_{i} + i = 1 \sum n P A_{i} \land F_{i} = QP \land R + M_{P} .$ La formule de transport $M_{Q} = M_{P} + QP \land R$ montre que le moment en tout point se déduit du moment en un seul point et de la résultante.

(b) Équiprojectivité. On fait le produit scalaire de la formule de transport par $P Q$ : $M_{Q} \cdot P Q = M_{P} \cdot P Q + (QP \land R) \cdot P Q .$ Le dernier terme est le produit mixte $[QP, R, P Q]$ , nul parce que $P Q = - QP$ est colinéaire au premier vecteur. Donc $M_{P} \cdot P Q = M_{Q} \cdot P Q$ : les moments en $P$ et en $Q$ ont la même projection sur la droite $(P Q)$ .

Invariant scalaire. On fait cette fois le produit scalaire par $R$ : $(QP \land R) \cdot R = 0$ , car un produit vectoriel est orthogonal à chacun de ses facteurs. Donc $R \cdot M_{Q} = R \cdot M_{P}$ : le produit scalaire $R \cdot M_{P}$ ne dépend pas du point $P$ .

(c) Si $R = 0$ , la formule de transport donne $M_{Q} = M_{P}$ pour tous $P$ , $Q$ : le moment est le même en tout point. C'est le cas d'un couple, par exemple deux forces opposées $F$ et $- F$ appliquées en deux points $A$ et $B$ : le moment vaut $P A \land F - P B \land F = B A \land F$ , indépendant de $P$ .

4) L'axe central. La formule de transport, écrite du point $O$ vers le point $P$ , donne $M_{P} = M_{O} + P O \land R$ , et par antisymétrie $P O \land R = R \land O P$ . Donc $M_{P} = M_{O} + R \land O P .$

Le coefficient est imposé. Supposons $M_{P} = μ R$ . En faisant le produit scalaire par $R$ et en utilisant l'invariant scalaire (3b) : $μ ∥ R ∥^{2} = R \cdot M_{P} = R \cdot M_{O}$ . Comme $R \neq = 0$ , $μ = μ_{0} = \frac{R \cdot M _{O}}{∥ R ∥ ^{2}} .$ Ainsi, $P \in Δ$ si et seulement si $M_{P} = μ_{0} R$ , c'est-à-dire si et seulement si $O P$ est solution de l'équation $R \land x = b, avec b = μ_{0} R - M_{O} .$

On applique 2). La condition de compatibilité est remplie : $R \cdot b = μ_{0} ∥ R ∥^{2} - R \cdot M_{O} = 0$ , par le choix même de $μ_{0}$ . La solution particulière de 2b) est $\frac{b \land R}{∥ R ∥ ^{2}}$ , et $b \land R = μ_{0} (R \land R) - M_{O} \land R = R \land M_{O} .$ Par 2c), l'ensemble des $O P$ solutions est $O P_{0} + Vect (R)$ , avec $O P_{0} = \frac{R \land M _{O}}{∥ R ∥ ^{2}} .$ $Δ$ est la droite $P_{0} + Vect (R)$ : elle passe par $P_{0}$ et elle est dirigée par la résultante. On l'appelle l'axe central. En chacun de ses points, le moment vaut le même vecteur $μ_{0} R$ .

Le point délicat. Le réel $μ$ n'est pas une inconnue libre : l'invariant scalaire le fixe avant tout calcul. Sans cette remarque, on aurait une équation $R \land x = μ R - M_{O}$ à deux inconnues, et la condition de compatibilité de 2a) serait mystérieuse ; avec elle, cette condition est automatiquement satisfaite.

5) Le moment minimal. La formule de transport de $P_{0}$ vers $P$ s'écrit $M_{P} = M_{P_{0}} + P P_{0} \land R$ . Le premier vecteur vaut $μ_{0} R$ , colinéaire à $R$ ; le second est orthogonal à $R$ . Ils sont donc orthogonaux, et Pythagore donne $∥ M_{P} ∥^{2} = ∥ M_{P_{0}} ∥^{2} + ∥ P P_{0} \land R ∥^{2} .$ Le second terme est positif ou nul, et il est nul si et seulement si $P P_{0}$ est colinéaire à $R$ , c'est-à-dire si et seulement si $P \in P_{0} + Vect (R) = Δ$ . La norme du moment est minimale exactement sur l'axe central, et le minimum vaut $∥ M_{P_{0}} ∥ = ∣ μ_{0} ∣ ∥ R ∥ = \frac{∣ R \cdot M _{O} ∣}{∥ R ∥} .$ Par l'exercice 7, $∥ P P_{0} \land R ∥ = ∥ R ∥ d (P, Δ)$ : la norme du moment au carré croît comme le carré de la distance à l'axe, $∥ M_{P} ∥^{2} = ∥ M_{P_{0}} ∥^{2} + ∥ R ∥^{2} d (P, Δ)^{2}$ .

6) Application. La résultante : $R = (1, 1, 0) + (0, 0, 1) = (1, 1, 1)$ . Le moment en $O$ : le terme de $F_{1}$ est nul ( $O O = 0$ ), et $M_{O} = O A_{2} \land F_{2} = (0, 1, 0) \land (0, 0, 1) = (1 \times 1 - 0 \times 0, 0 \times 0 - 0 \times 1, 0 \times 0 - 1 \times 0) = (1, 0, 0) .$ L'invariant scalaire : $R \cdot M_{O} = 1$ , donc $μ_{0} = \frac{1}{3}$ . Le point $P_{0}$ : $R \land M_{O} = (1 \times 0 - 1 \times 0, 1 \times 1 - 1 \times 0, 1 \times 0 - 1 \times 1) = (0, 1, - 1),$ d'où $O P_{0} = \frac{1}{3} (0, 1, - 1)$ , soit $P_{0} (0, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ . L'axe central a pour représentation paramétrique $x = λ, y = \frac{1}{3} + λ, z = - \frac{1}{3} + λ, λ \in R .$ Le moment sur l'axe vaut $μ_{0} R = \frac{1}{3} (1, 1, 1)$ , et le moment minimal a pour norme $\frac{1}{3}$ , qui est bien $\frac{∣ R \cdot M _{O} ∣}{∥ R ∥} = \frac{1}{3}$ .

Contrôle direct en $P_{0}$ , par la définition du moment. On a $P_{0} O = (0, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ et $P_{0} A_{2} = (0, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ . Avec $F_{1} = (1, 1, 0)$ : $P_{0} O \land F_{1} = (- \frac{1}{3} \times 0 - \frac{1}{3} \times 1, \frac{1}{3} \times 1 - 0 \times 0, 0 \times 1 + \frac{1}{3} \times 1) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) .$ Avec $F_{2} = (0, 0, 1)$ : $P_{0} A_{2} \land F_{2} = (\frac{2}{3} \times 1 - \frac{1}{3} \times 0, \frac{1}{3} \times 0 - 0 \times 1, 0 \times 0 - \frac{2}{3} \times 0) = (\frac{2}{3}, 0, 0) .$ La somme vaut $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} R$ : le moment en $P_{0}$ est bien colinéaire à la résultante, avec le coefficient $μ_{0} = \frac{1}{3}$ annoncé.

Comme l'invariant scalaire n'est pas nul, le moment n'est nul en aucun point : ce système de deux forces ne se réduit pas à une force unique ; il se réduit, sur l'axe central, à une force $R$ et à un moment parallèle à $R$ — ce que les mécaniciens appellent une vis.

Le théorème obtenu — théorème de l'axe central. Soit un système de forces de résultante $R$ non nulle. L'ensemble des points où le moment est colinéaire à la résultante est une droite dirigée par $R$ , l'axe central, qui passe par le point $P_{0}$ tel que $O P_{0} = \frac{R \land M _{O}}{∥ R ∥ ^{2}}$ ; le moment y est constant, égal à $\frac{R \cdot M _{O}}{∥ R ∥ ^{2}} R$ , et sa norme y est minimale, égale à $\frac{∣ R \cdot M _{O} ∣}{∥ R ∥}$ . C'est le théorème de Poinsot, au XIXe siècle.

Ce que le problème installe. Trois idées, qui serviront toute l'année en sciences industrielles et en mécanique. La première : un champ de moments est entièrement déterminé par sa valeur en un point et la résultante, via la formule de transport — c'est la structure de torseur, qu'on retrouvera pour les actions mécaniques et, avec une vitesse à la place du moment, pour le mouvement d'un solide. La deuxième : l'invariant scalaire $R \cdot M_{P}$ ne dépend pas du point ; nul, il signale un système réductible à une force unique sur l'axe central. La troisième, mathématique : l'équation $a \land x = b$ se résout comme toute équation linéaire, par une condition de compatibilité, une solution particulière et l'ensemble des solutions de l'équation homogène, et le double produit vectoriel en fournit la solution particulière. Avec l'exercice 8, la séance a donc rencontré deux fois la même structure : deux droites gauches ont une perpendiculaire commune, et un système de forces a un axe central.

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