Produit vectoriel et aire

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 9 — Géométrie du plan et de l'espace · E. Produits vectoriel et mixte dans l'espace

Énoncé

Soient $A (1, 0, 2)$ , $B (2, 1, 3)$ et $C (0, 1, 4)$ . Calculer $A B \land A C$ , en déduire l'aire du triangle $A B C$ ainsi qu'une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

Corrigé

$A B (1, 1, 1)$ et $A C (- 1, 1, 2)$ , d'où :

$A B \land A C = 1 \times 2 - 1 \times 1 1 \times (- 1) - 1 \times 2 1 \times 1 - 1 \times (- 1) = 1 - 3 2 .$

Contrôle : $(1, - 3, 2) \cdot (1, 1, 1) = 0$ ✔. L'aire du triangle vaut $\frac{1}{2} 1 + 9 + 4 = \frac{14}{2}$ . Le plan $(A B C)$ a pour normale $n (1, - 3, 2)$ et passe par $A$ : $(x - 1) - 3 y + 2 (z - 2) = 0$ , soit $x - 3 y + 2 z - 5 = 0$ . Contrôle avec $C$ : $0 - 3 + 8 - 5 = 0$ . ✔

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