Sphère, plan tangent et section circulaire

Stratégie : forme canonique, puis comparaison distance-rayon pour chacune des deux questions. Les intersections d'une sphère avec un plan se traitent sans jamais résoudre de système : tout se lit sur la distance du centre au plan.

1) Centre et rayon. Regroupons en carrés :

$$x^2-2x+y^2-4y+z^2+4=(x-1{)}^2-1+(y-2{)}^2-4+z^2+4=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2-1.$$

L'équation équivaut donc à $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=1$ :

$$\Omega (1,2,0),R=1.$$

2) L'intersection avec le plan horizontal ${\mathcal{P}}_h:z=h$. La distance du centre à ce plan est simplement $|h|$, puisque la troisième coordonnée de $\Omega$ est nulle. Le cours donne alors les trois cas :

condition	intersection
$\Vert h\Vert >1$	vide : le plan passe au-delà de la sphère
$h=1$ ou $h=-1$	un seul point, $(1,2,1)$ ou $(1,2,-1)$ : le plan est tangent
$\Vert h\Vert <1$	un cercle, de centre $(1,2,h)$ et de rayon $\sqrt{1-h^2}$

Le rayon du cercle s'obtient par Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre de la sphère, le centre du cercle et un point du cercle : $r^2+h^2=R^2$.

⚠️ Le centre du cercle n'est pas le centre de la sphère, et ce n'est pas non plus un point quelconque du plan. C'est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan — ici $(1,2,h)$. C'est ce projeté qui joue le rôle du sommet de l'angle droit dans le triangle de Pythagore, et l'oublier fait perdre à la fois le centre et la formule du rayon.

Ces cercles sont les « parallèles » de la sphère : le plus grand, de rayon $1$, est obtenu pour $h=0$ — c'est le grand cercle, celui qui passe par le centre.

3) Le plan $\mathcal{Q}:2x+y+2z=7$. Son vecteur normal $(2,1,2)$ a pour norme $\sqrt{4+1+4}=3$, donc

$$d(\Omega ,\mathcal{Q})=\frac{\left|2\times 1+1\times 2+2\times 0-7\right|}{3}=\frac{|-3|}{3}=1=R.$$

La distance égale le rayon : le plan est tangent à la sphère.

4) Le point de contact est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{Q}$, qu'on obtient en suivant la normale issue du centre. Posons $M_t=(1+2t,2+t,2t)$ et reportons dans l'équation du plan :

$$2(1+2t)+(2+t)+2(2t)=4+9t=7⟹t=\frac{1}{3},$$

$$\boxed{H\left(\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right).}$$

Contrôles numériques. Le point $H$ est-il sur le plan ? $\frac{10}{3}+\frac{7}{3}+\frac{4}{3}=\frac{21}{3}=7$ ✔. Est-il sur la sphère ? $\Omega H=\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4+1+4}{9}}=1=R$ ✔ — et un point à distance $R$ du centre est par définition sur la sphère. Enfin, pour $h=0$, la question 2 prédit un cercle de rayon $\sqrt{1-0}=1$ centré en $(1,2,0)$ : c'est bien un grand cercle. ✔

Ce que l'exercice installe. Toute la géométrie de la sphère se joue sur une seule comparaison : la distance du centre au plan, face au rayon. Elle décide du vide, de la tangence ou du cercle ; elle donne le centre du cercle, qui est le projeté ; elle donne son rayon, par Pythagore. C'est exactement le schéma déjà rencontré pour le cercle et la droite dans le plan, transposé d'une dimension.