mathématiques (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Un cercle déguisé en équation polaire

Géométrie du plan et de l'espace · A. Modes de repérage · niveau 2

Énoncé

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, , )$ . Pour tout réel $θ$ , on note $u_{r} (θ) = cos θ  + sin θ $ , de sorte qu'un point $M \neq = O$ de coordonnées polaires $(r, θ)$ vérifie $O M = r u_{r} (θ)$ avec $r > 0$ .

a) Décrire l'ensemble $E_{1}$ des points $M$ du plan dont un couple de coordonnées polaires $(r, θ)$ vérifie $r = 2 cos θ$ : montrer qu'il s'agit d'un cercle privé d'un point, que l'on précisera.

b) Plus généralement, pour $a > 0$ et $φ \in R$ , reconnaître l'ensemble des points dont un couple de coordonnées polaires vérifie $r = 2 a cos (θ - φ)$ .

c) Soit $D$ une droite ne passant pas par $O$ , et $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $D$ , de coordonnées polaires $(d, φ)$ avec $d > 0$ . Montrer que $M \in D$ si et seulement si $O M \cdot u_{r} (φ) = d$ , puis que, pour $M \neq = O$ de coordonnées polaires $(r, θ)$ , cette condition s'écrit $r cos (θ - φ) = d$ . Donner l'équation polaire de la droite d'équation cartésienne $x + y = 2$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les formules de passage du cours : $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , et donc $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ; l'expression du produit scalaire en base orthonormée ; la formule d'addition $cos (θ - φ) = cos θ cos φ + sin θ sin φ$ .

La stratégie. L'équation $r = 2 cos θ$ contient $cos θ$ tout seul, qui n'est pas une coordonnée cartésienne ; en revanche $r cos θ$ en est une, c'est $x$ . On multiplie donc par $r$ pour fabriquer des quantités cartésiennes. Mais multiplier par $r$ n'est pas une opération neutre, et c'est tout le sel de l'exercice : on le paiera d'une vérification.

a) Le passage en cartésiennes. Soit $M$ un point dont un couple de coordonnées polaires $(r, θ)$ vérifie $r = 2 cos θ$ . Comme $r > 0$ (on a exclu $O$ de la définition des coordonnées polaires), on a nécessairement $cos θ > 0$ . En multipliant par $r$ : $r^{2} = 2 r cos θ,$ c'est-à-dire $x^{2} + y^{2} = 2 x$ . On met sous forme canonique : $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0 ⟺ (x - 1)^{2} + y^{2} = 1.$ Le point $M$ appartient donc au cercle $C$ de centre $Ω (1, 0)$ et de rayon $1$ , et il est distinct de $O$ : $E_{1} \subset C ∖ {O}$ .

Réciproquement — et c'est ici que se joue l'équivalence —, soit $M$ un point de $C$ distinct de $O$ , et $(r, θ)$ un couple de coordonnées polaires de $M$ , avec $r > 0$ . L'équation du cercle s'écrit $x^{2} + y^{2} = 2 x$ , soit $r^{2} = 2 r cos θ$ ; on peut diviser par $r$ , qui n'est pas nul : $r = 2 cos θ$ . Donc $M \in E_{1}$ .

$E_{1} = C ∖ {O} .$

Le point délicat. La multiplication par $r$ a ajouté des solutions : l'équation $r^{2} = 2 r cos θ$ est vraie pour $r = 0$ quel que soit $θ$ , c'est-à-dire en $O$ . Or $O$ est bien sur le cercle $C$ (car $(0 - 1)^{2} + 0^{2} = 1$ ), mais il n'a pas de coordonnées polaires au sens du cours, puisque celles-ci exigent $r > 0$ . C'est pourquoi le cercle est privé de l'origine. Le point diamétralement opposé, $(2, 0)$ , est atteint pour $θ = 0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Plus généralement, pour $a > 0$ et $φ \in R$ , reconnaître l'ensemble des points dont un couple de coordonnées polaires vérifie $r = 2 a cos (θ - φ)$ .

Élève

Je multiplie par $r$ comme au a) et je développe $cos (θ - φ)$ : j'obtiens $x^{2} + y^{2} = 2 a cos φ x + 2 a sin φ y$ . Mais avec ces coefficients, je ne sais pas reconnaître la figure.

Fais comme au a) avec $x^{2} - 2 x$ : regroupe $x^{2} - 2 a cos φ x$ d'un côté, $y^{2} - 2 a sin φ y$ de l'autre, et complète chacun en un carré. Quelle constante apparaît alors à droite ?

Élève

Chaque groupe devient un carré moins $a^{2} cos^{2} φ$ , ou moins $a^{2} sin^{2} φ$ ; avec $cos^{2} φ + sin^{2} φ = 1$ , il ne reste qu'une constante simple à droite.

Quel cercle reconnais-tu alors : quel centre, exprimé à l'aide de $u_{r} (φ)$ , et quel rayon ? Et comme au a), la multiplication par $r$ a pu introduire un point parasite : lequel, et faut-il l'exclure de l'ensemble cherché ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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