Un cercle déguisé en équation polaire

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les formules de passage du cours : $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, et donc $x^2+y^2=r^2$ ; l'expression du produit scalaire en base orthonormée ; la formule d'addition $\cos (\theta -\phi )=\cos \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi$.

La stratégie. L'équation $r=2\cos \theta$ contient $\cos \theta$ tout seul, qui n'est pas une coordonnée cartésienne ; en revanche $r\cos \theta$ en est une, c'est $x$. On multiplie donc par $r$ pour fabriquer des quantités cartésiennes. Mais multiplier par $r$ n'est pas une opération neutre, et c'est tout le sel de l'exercice : on le paiera d'une vérification.

a) Le passage en cartésiennes. Soit $M$ un point dont un couple de coordonnées polaires $(r,\theta )$ vérifie $r=2\cos \theta$. Comme $r>0$ (on a exclu $O$ de la définition des coordonnées polaires), on a nécessairement $\cos \theta >0$. En multipliant par $r$ : $$r^2=2r\cos \theta ,$$ c'est-à-dire $x^2+y^2=2x$. On met sous forme canonique : $$x^2-2x+y^2=0⟺(x-1{)}^2+y^2=1.$$ Le point $M$ appartient donc au cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega (1,0)$ et de rayon $1$, et il est distinct de $O$ : ${\mathcal{E}}_1\subset \mathcal{C}\setminus \{O\}$.

Réciproquement — et c'est ici que se joue l'équivalence —, soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ distinct de $O$, et $(r,\theta )$ un couple de coordonnées polaires de $M$, avec $r>0$. L'équation du cercle s'écrit $x^2+y^2=2x$, soit $r^2=2r\cos \theta$ ; on peut diviser par $r$, qui n'est pas nul : $r=2\cos \theta$. Donc $M\in {\mathcal{E}}_1$.

$${\mathcal{E}}_1=\mathcal{C}\setminus \{O\}.$$

Le point délicat. La multiplication par $r$ a ajouté des solutions : l'équation $r^2=2r\cos \theta$ est vraie pour $r=0$ quel que soit $\theta$, c'est-à-dire en $O$. Or $O$ est bien sur le cercle $\mathcal{C}$ (car $(0-1{)}^2+0^2=1$), mais il n'a pas de coordonnées polaires au sens du cours, puisque celles-ci exigent $r>0$. C'est pourquoi le cercle est privé de l'origine. Le point diamétralement opposé, $(2,0)$, est atteint pour $\theta =0$.

b) Le cas général. Même méthode. Si $r=2a\cos (\theta -\phi )$, on multiplie par $r$ et on développe le cosinus : $$r^2=2a(r\cos \theta \cos \phi +r\sin \theta \sin \phi ),$$ soit $x^2+y^2=2a\cos \phi x+2a\sin \phi y$. On complète les carrés, en utilisant ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$ : $$(x-a\cos \phi {)}^2+(y-a\sin \phi {)}^2=a^2.$$ C'est le cercle de centre ${\Omega }_{\phi }$ tel que $\overrightarrow{O{\Omega }_{\phi }}=a{\overrightarrow{u}}_r(\phi )$ et de rayon $a$ ; il passe par $O$, puisque $O{\Omega }_{\phi }=a$. La réciproque se fait exactement comme au a) : un point du cercle distinct de $O$ a un $r>0$ par lequel on divise. L'ensemble est ce cercle privé de $O$. Le cas a) est $a=1$, $\phi =0$.

c) L'équation polaire d'une droite. Le point $H$ est le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal{D}$, donc $\overrightarrow{OH}=d{\overrightarrow{u}}_r(\phi )$ est orthogonal à $\mathcal{D}$ : c'est un vecteur normal à $\mathcal{D}$. Un point $M$ est sur $\mathcal{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{HM}$ est orthogonal à ce vecteur normal, c'est-à-dire $$\overrightarrow{HM}\cdot {\overrightarrow{u}}_r(\phi )=0.$$ Or $\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{OH}\cdot {\overrightarrow{u}}_r(\phi )=d\Vert {\overrightarrow{u}}_r(\phi ){\Vert }^2=d$. La condition équivaut donc à $$\overrightarrow{OM}\cdot {\overrightarrow{u}}_r(\phi )=d.$$ C'est une ligne de niveau de l'application $M\mapsto {\overrightarrow{u}}_r(\phi )\cdot \overrightarrow{OM}$, comme le dit le cours. Pour $M\ne O$ de coordonnées polaires $(r,\theta )$, on remplace $\overrightarrow{OM}$ par $r{\overrightarrow{u}}_r(\theta )$ et on calcule en base orthonormée : $${\overrightarrow{u}}_r(\theta )\cdot {\overrightarrow{u}}_r(\phi )=\cos \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi =\cos (\theta -\phi ).$$ D'où l'équation polaire de la droite : $$r\cos (\theta -\phi )=d.$$ Aucun point n'est perdu cette fois : $O$ n'est pas sur $\mathcal{D}$, puisque $d>0$.

Application. La droite $x+y=2$ a pour vecteur normal $(1,1)$ ; la distance de $O$ à la droite vaut $\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}$, et le projeté de $O$ est $H(1,1)$, de coordonnées polaires $\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$. L'équation polaire est donc $$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}.$$ Contrôle. En développant, $r\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta \right)=\sqrt{2}$, soit, en multipliant par $\sqrt{2}$, $r\cos \theta +r\sin \theta =2$, c'est-à-dire $x+y=2$.

Ce que l'exercice installe. Une équation polaire se lit en fabriquant $r\cos \theta$, $r\sin \theta$ et $r^2$, et la conversion se paie d'une vérification du domaine : c'est là qu'on gagne ou qu'on perd des points isolés. Les deux formes à reconnaître au premier coup d'œil : $r=2a\cos (\theta -\phi )$, cercle passant par l'origine, et $r\cos (\theta -\phi )=d$, droite à distance $d$ de l'origine. En mécanique, les trajectoires d'un mouvement à force centrale s'écrivent en polaires ; le mouvement circulaire en est le premier cas, et la droite parcourue à vitesse constante, vue depuis un point hors d'elle, le second.