Deux inflexions symétriques

Deux inflexions symétriques.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln (1+x^2)$.

• Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, et montrer que $f$ est paire, c'est-à-dire que $f(-x)=f(x)$.
• Calculer $f^{\prime }(x)$, puis montrer que $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x)(1+x)}{(1+x^2{)}^2}$.
• Étudier la convexité de $f$ et déterminer les points d'inflexion de sa courbe.
• Déterminer la tangente au point d'inflexion d'abscisse $1$.