Encadrer $\ln 2$ par une sécante et une tangente

Encadrer $\ln 2$ par une sécante et une tangente.

• Rappeler pourquoi la fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty [$.
• Soit $A(1;0)$ et $B(e;1)$, deux points de la courbe de $\ln$. Déterminer l'équation de la sécante $(AB)$. En utilisant la définition de la concavité, en déduire que pour tout $x\in [1;e]$, $\ln x\ge \frac{x-1}{e-1}$.
• Déterminer la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $e$, et en déduire que, pour tout $x>0$, $\ln x\le \frac{x}{e}$.
• En déduire un encadrement de $\ln 2$, puis le comparer à la valeur donnée par la calculatrice.