La croissance d'un poisson d'élevage — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 5)

La croissance d'un poisson d'élevage

Convexité · niveau 1 (application)

Énoncé

La croissance d'un poisson d'élevage.

En pisciculture, la longueur d'un poisson $t$ mois après l'alevinage est souvent modélisée par

$L (t) = 60 (1 - e^{- 0, 2 t}) (L en centim e ˋ tres, t \geq 0) .$

Calculer $L^{'} (t)$ et en déduire le sens de variation de $L$ .
Calculer $L^{''} (t)$ et étudier la convexité de $L$ .
Comparer $L (1) - L (0)$ et $L (6) - L (5)$ , arrondis au dixième.
La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Qu'est-ce que cela signifie pour l'éleveur ?

$L^{'} (t) = 60 \times 0, 2 e^{- 0, 2 t} = 12 e^{- 0, 2 t} > 0$

La longueur augmente : le poisson grandit sans jamais rapetisser.

$L^{''} (t) = - 12 \times 0, 2 e^{- 0, 2 t} = - 2, 4 e^{- 0, 2 t} < 0$

La fonction $L$ est concave sur $[0; + \infty [$ .

$L (1) - L (0) = 60 (1 - e^{- 0, 2}) \approx 10, 9 cm L (6) - L (5) = 60 (e^{- 1} - e^{- 1, 2}) \approx 4, 0 cm$

Le premier mois rapporte près de trois fois plus que le sixième.

Aucun point d'inflexion : $L^{''}$ ne s'annule jamais (une exponentielle ne s'annule pas). La croissance n'a donc jamais de phase d'emballement : elle ralentit dès le premier jour. Pour l'éleveur, prolonger l'élevage coûte de plus en plus cher par centimètre gagné.

Croissante et concave : c'est la signature d'un phénomène qui progresse en s'essoufflant.