Le rythme des ventes d'un nouveau produit (économie)

Le rythme des ventes d'un nouveau produit (économie).

Les ventes cumulées d'une application, en milliers de téléchargements, $t$ mois après son lancement, sont modélisées par

$$V(t)=100-100(1+t)e^{-t},t\ge 0.$$

• Calculer $V(0)$ et la limite de $V$ en $+\infty$ (on admettra que $t{e}^{-t}\to 0$). Interpréter.
• Montrer que $V^{\prime }(t)=100t{e}^{-t}$. Que représente $V^{\prime }(t)$ ?
• Calculer $V^{\prime \prime }(t)$ et étudier la convexité de $V$.
• Quand le rythme des téléchargements est-il maximal ? Combien de téléchargements par mois à cet instant, et combien au total depuis le lancement ?
• Un analyste affirme, au bout de trois mois, que « les ventes s'effondrent ». Commenter.