Problème — Le dioxyde de carbone dans l'atmosphère

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 5 — Convexité

Énoncé

Problème — Le dioxyde de carbone dans l'atmosphère.

L'observatoire de Mauna Loa mesure la concentration de $C O_{2}$ atmosphérique depuis 1958. On note $t$ le nombre d'années écoulées depuis 1958 et l'on modélise cette concentration, en parties par million (ppm), par

$C (t) = 315 + 0, 8 t + 0, 012 t^{2} .$

Partie A — ce que le modèle dit du passé.

Calculer $C (0)$ et $C (60)$ . Les mesures donnent environ $315$ ppm en 1958 et $407$ ppm en 2018 : le modèle est-il crédible ?
Calculer $C^{'} (t)$ . Que représente cette dérivée ? Calculer $C^{'} (0)$ et $C^{'} (60)$ .
Calculer $C^{''} (t)$ et étudier la convexité de $C$ . Qu'en déduit-on sur le phénomène ?
Selon ce modèle, en quelle année la concentration augmenterait-elle de $3$ ppm par an ?

Partie B — « infléchir la courbe ». Un scénario de politique climatique prolonge le modèle, pour $t \geq 60$ , par

$D (t) = C (t) - 0, 0002 (t - 60)^{3} .$

Vérifier que $D (60) = C (60)$ et $D^{'} (60) = C^{'} (60)$ : le scénario prolonge la trajectoire sans rupture.
Calculer $D^{''} (t)$ et montrer que la courbe de $D$ admet un point d'inflexion. En quelle année ?
Calculer $D^{'} (80)$ et interpréter. La concentration diminue-t-elle pour autant ?

Corrigé

Deux valeurs :

$C (0) = 315 et C (60) = 315 + 48 + 43, 2 = 406, 2$

Les $406, 2$ ppm prévus pour 2018 sont à moins d'une ppm de la mesure : le modèle est tout à fait crédible sur la période.

Rythme annuel :

$C^{'} (t) = 0, 8 + 0, 024 t$

C'est la vitesse d'augmentation, en ppm par an. Ainsi $C^{'} (0) = 0, 8$ ppm par an en 1958, contre $C^{'} (60) = 0, 8 + 1, 44 = 2, 24$ ppm par an en 2018 : le rythme a presque triplé.

Convexité :

$C^{''} (t) = 0, 024 > 0$

La fonction $C$ est convexe sur toute la période, et $C^{''}$ ne s'annule jamais : il n'y a aucun point d'inflexion. Non seulement la concentration augmente, mais elle augmente de plus en plus vite — la courbe ne s'est pas encore infléchie.

Un rythme de 3 ppm par an :

$0, 8 + 0, 024 t = 3 ⟺ t = \frac{2 , 2}{0 , 024} \approx 91, 7$

soit vers l'année $1958 + 92 = 2050$ .

Raccordement : $(60 - 60)^{3} = 0$ donc $D (60) = C (60) = 406, 2$ . De plus

$D^{'} (t) = 0, 8 + 0, 024 t - 0, 0006 (t - 60)^{2}$

donc $D^{'} (60) = 0, 8 + 1, 44 - 0 = 2, 24 = C^{'} (60)$ . Les deux courbes se raccordent avec la même tangente : le scénario part bien de la trajectoire observée.

Le point d'inflexion :

$D^{''} (t) = 0, 024 - 0, 0012 (t - 60)$

C'est une fonction affine strictement décroissante, qui s'annule pour $t - 60 = \frac{0 , 024}{0 , 0012} = 20$ , soit $t = 80$ : elle est positive avant, négative après. Le changement de signe a lieu, il y a donc un point d'inflexion, en l'année $1958 + 80 = 2038$ .

Le rythme maximal :

$D^{'} (80) = 0, 8 + 1, 92 - 0, 0006 \times 400 = 2, 72 - 0, 24 = 2, 48 ppm par an$

Un point d'inflexion de $D$ est un extremum de $D^{'}$ : $2, 48$ ppm par an est donc le rythme maximal d'augmentation, atteint en 2038. Ensuite, le rythme diminue. Mais la concentration, elle, continue de monter : $D (80) = 454, 2$ ppm, et $D (100) = 502, 2$ ppm en 2058.

« Infléchir la courbe » est donc à prendre au pied de la lettre : l'objectif d'un tel scénario est un point d'inflexion, c'est-à-dire le pic des émissions annuelles. Il ne fait pas baisser la concentration, il fait cesser son emballement — exactement comme le pic épidémique du modèle logistique étudié plus haut.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.