Taux moyen et moyenne géométrique (économie)

Taux moyen et moyenne géométrique (économie).

• Justifier que la fonction racine carrée est concave sur $]0;+\infty [$, puis déterminer sa tangente au point d'abscisse $1$.
• En déduire que, pour tout $x>0$, $\sqrt{x}\le \frac{x+1}{2}$.
• En appliquant cette inégalité à $x=\frac{a}{b}$, montrer que, pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.
• Le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de $30\%$ une année, puis de $10\%$ l'année suivante. Le taux annuel moyen $r$ est défini par $(1+r{)}^2=1,3\times 1,1$. Montrer sans calcul que $r\le 20\%$, puis calculer $r$.