Une convexité qui dépend d'un paramètre

Une convexité qui dépend d'un paramètre.

Pour un réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_a(x)=e^x+a{x}^2$.

• Calculer $f_a^{\prime \prime }(x)$.
• Montrer que si $a\ge 0$, la fonction $f_a$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
• On suppose $a<0$. Déterminer l'unique point où $f_a^{\prime \prime }$ s'annule, et montrer que la courbe y admet un point d'inflexion.
• Pour $a=-1$, préciser l'abscisse du point d'inflexion et les intervalles de convexité.