Calculs de modules

• $|3-4\mathrm{i}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$, donc $\left|(3-4\mathrm{i}{)}^3\right|=|3-4\mathrm{i}{|}^3=5^3=125$.
• Le module d'un produit est le produit des modules, celui d'un quotient le quotient des modules. Or $|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$, $|\sqrt{3}-\mathrm{i}|=\sqrt{3+1}=2$ et $|2\mathrm{i}|=2$. Donc :

$$\left|\frac{(1+\mathrm{i}{)}^5(\sqrt{3}-\mathrm{i}{)}^3}{(2\mathrm{i}{)}^4}\right|=\frac{(\sqrt{2}{)}^5\times 2^3}{2^4}=\frac{4\sqrt{2}\times 8}{16}=2\sqrt{2}$$

(en effet $(\sqrt{2}{)}^5=(\sqrt{2}{)}^4\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$).

• $|3+4\mathrm{i}|=\sqrt{9+16}=5$ et $|4-3\mathrm{i}|=\sqrt{16+9}=5$, donc $|Z|=\frac{5}{5}=1$. Pour la forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur :

$$Z=\frac{(3+4\mathrm{i})(4+3\mathrm{i})}{4^2+3^2}=\frac{12+9\mathrm{i}+16\mathrm{i}+12{\mathrm{i}}^2}{25}=\frac{(12-12)+25\mathrm{i}}{25}=\mathrm{i}$$

On retrouve $|Z|=|\mathrm{i}|=1$.