Calculs de modules — exercice corrigé de maths expertes terminale (chapitre 1)

Calculs de modules

Nombres Complexes · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculs de modules.

Calculer les nombres suivants en utilisant les propriétés du module, sans développer les puissances :

$(3 - 4 i)^{3}$ ;
$\frac{( 1 + i ) ^{5} ( 3 - i ) ^{3}}{( 2 i ) ^{4}}$ ;
montrer que $Z = \frac{3 + 4 i}{4 - 3 i}$ est de module $1$ , puis donner sa forme algébrique.

$∣3 - 4 i ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 25 = 5$ , donc $(3 - 4 i)^{3} = ∣3 - 4 i ∣^{3} = 5^{3} = 125$ .
Le module d'un produit est le produit des modules, celui d'un quotient le quotient des modules. Or $∣1 + i ∣ = 2$ , $∣ 3 - i ∣ = 3 + 1 = 2$ et $∣2 i ∣ = 2$ . Donc :

$\frac{( 1 + i ) ^{5} ( 3 - i ) ^{3}}{( 2 i ) ^{4}} = \frac{( 2 ) ^{5} \times 2 ^{3}}{2 ^{4}} = \frac{4 2 \times 8}{16} = 22$

(en effet $(2)^{5} = (2)^{4} \times 2 = 42$ ).

$∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5$ et $∣4 - 3 i ∣ = 16 + 9 = 5$ , donc $∣ Z ∣ = \frac{5}{5} = 1$ . Pour la forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur :

$Z = \frac{( 3 + 4 i ) ( 4 + 3 i )}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{12 + 9 i + 16 i + 12 i ^{2}}{25} = \frac{( 12 - 12 ) + 25 i}{25} = i$

On retrouve $∣ Z ∣ = ∣ i ∣ = 1$ .