Forme exponentielle et puissances — exercice corrigé de maths expertes terminale (chapitre 1)

Forme exponentielle et puissances

Nombres Complexes · niveau 2

Énoncé

Forme exponentielle et puissances.

Écrire $z = 1 + i 3$ sous forme exponentielle, puis calculer $z^{12}$ .
Calculer $(\frac{1 + i}{1 - i})^{2026}$ .
Déterminer tous les entiers naturels $n$ pour lesquels $z^{n}$ est un nombre réel.

$cos (θ) = \frac{1}{2} et sin (θ) = \frac{3}{2} d’o u ˋ θ = \frac{π}{3}$

Donc $z = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ , et par la formule de Moivre :

$z^{12} = 2^{12} e^{i \times 12 \times \frac{π}{3}} = 4096 e^{4 i π} = 4096$

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{2 i}{2} = i$

Comme $2026 = 4 \times 506 + 2$ , on obtient $i^{2026} = i^{2} = - 1$ .

On a $z^{n} = 2^{n} e^{i \frac{nπ}{3}}$ , donc $ar g (z^{n}) \equiv \frac{nπ}{3} (mod 2 π)$ . Un complexe non nul est réel si et seulement si son argument est congru à $0$ modulo $π$ :

$\frac{nπ}{3} \equiv 0 (mod π) ⟺ \frac{n}{3} \in Z ⟺ n \equiv 0 (mod 3)$

Les entiers cherchés sont les multiples de $3$ . Par exemple $z^{3} = 8 e^{i π} = - 8$ , et $z^{6} = 64$ .