Forme exponentielle et puissances

• Module : $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$. Argument $\theta$ :

$$\cos (\theta )=\frac{1}{2}\text{et}\sin (\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{d’ouˋ}\theta =\frac{\pi }{3}$$

Donc $z=2e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, et par la formule de Moivre :

$$z^{12}=2^{12}{e}^{\mathrm{i}\times 12\times \frac{\pi }{3}}=4096e^{4\mathrm{i}\pi }=4096$$

• On simplifie d'abord le quotient :

$$\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$$

Comme $2026=4\times 506+2$, on obtient ${\mathrm{i}}^{2026}={\mathrm{i}}^2=-1$.

• On a $z^n=2^n{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi }{3}}$, donc $\arg (z^n)\equiv \frac{n\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Un complexe non nul est réel si et seulement si son argument est congru à $0$ modulo $\pi$ :

$$\frac{n\pi }{3}\equiv 0(\mathrm{mod}\pi )⟺\frac{n}{3}\in \mathbb{Z}⟺n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$$

Les entiers cherchés sont les multiples de $3$. Par exemple $z^3=8e^{\mathrm{i}\pi }=-8$, et $z^6=64$.