Formule de Moivre et équation du troisième degré

Nombres Complexes · Trigonométrie par les nombres complexes · niveau 2

Énoncé

Formule de Moivre et équation du troisième degré.

À l'aide de la formule de Moivre et de la formule du binôme, exprimer $cos (3 x)$ en fonction de $cos (x)$ et $sin (3 x)$ en fonction de $sin (x)$ , pour tout réel $x$ .
Montrer que les trois réels $cos (\frac{2 π}{9})$ , $cos (\frac{4 π}{9})$ et $cos (\frac{8 π}{9})$ sont solutions de l'équation $8 t^{3} - 6 t + 1 = 0$ .
Justifier que ces trois réels sont deux à deux distincts.
Montrer de même que $cos (\frac{π}{9})$ est solution de $8 t^{3} - 6 t - 1 = 0$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.