Formules d'Euler et linéarisation

En utilisant la formule d'Euler pour le sinus :

$$\sin (x)=\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$$

Élevons au cube :

$${\sin }^3(x)={\left(\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\right)}^3=\frac{(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}{)}^3}{(2\mathrm{i}{)}^3}$$

Puisque $(2\mathrm{i}{)}^3=8{\mathrm{i}}^3=-8\mathrm{i}$. Développons le numérateur à l'aide de l'identité $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ :

$$(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}{)}^3=e^{\mathrm{i}3x}-3e^{\mathrm{i}2x}{e}^{-\mathrm{i}x}+3e^{\mathrm{i}x}{e}^{-\mathrm{i}2x}-e^{-\mathrm{i}3x}=e^{\mathrm{i}3x}-3e^{\mathrm{i}x}+3e^{-\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}3x}$$

Regroupons les termes de même fréquence :

$${\sin }^3(x)=\frac{(e^{\mathrm{i}3x}-e^{-\mathrm{i}3x})-3(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x})}{-8\mathrm{i}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{e^{\mathrm{i}3x}-e^{-\mathrm{i}3x}}{2\mathrm{i}}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\right)$$

En réutilisant Euler pour repasser en sinus :

$${\sin }^3(x)=-\frac{1}{4}\sin (3x)+\frac{3}{4}\sin (x)$$