Reconnaître un réel, un imaginaire pur

• Posons $u=\frac{2+3\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$. Le conjugué d'un quotient étant le quotient des conjugués :

$$\bar{u}=\frac{\overline{2+3\mathrm{i}}}{\overline{1-\mathrm{i}}}=\frac{2-3\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$$

Le second terme de $Z$ est donc exactement $\bar{u}$, d'où $Z=u+\bar{u}=2\mathrm{Re}(u)$ : $Z$ est bien un nombre réel. Il reste à calculer $\mathrm{Re}(u)$ :

$$u=\frac{(2+3\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}-3}{1^2+1^2}=\frac{-1+5\mathrm{i}}{2}$$

Ainsi $\mathrm{Re}(u)=-\frac{1}{2}$ et $Z=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$.

• Puisque $|z|=1$, on a $z\bar{z}=|z{|}^2=1$, donc $z\ne 0$ et $\bar{z}=\frac{1}{z}$. Alors :

$$\bar{w}=\frac{\overline{1-z}}{\overline{1+z}}=\frac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}=\frac{1-\frac{1}{z}}{1+\frac{1}{z}}=\frac{z-1}{z+1}=-\frac{1-z}{1+z}=-w$$

(on a multiplié numérateur et dénominateur par $z$). De $\bar{w}=-w$ on tire $w+\bar{w}=0$, c'est-à-dire $2\mathrm{Re}(w)=0$ : le nombre $w$ est un imaginaire pur — il n'est nul que pour $z=1$. Pour $z=\mathrm{i}$ :

$$w=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i}{)}^2}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{1-2\mathrm{i}-1}{2}=-\mathrm{i}$$

dont la partie réelle est bien nulle.