Somme de deux distances sur le cercle unité

Nombres Complexes · Module, argument et forme exponentielle · niveau 3 (difficile)

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Somme de deux distances sur le cercle unité. On note $A$ et $B$ les points d'affixes $- 1$ et $1$ . Pour tout point $M$ d'affixe $z \in U$ , on pose $a = ∣1 + z ∣$ et $b = ∣1 - z ∣$ , de sorte que $a = M A$ et $b = M B$ .

Montrer que $a^{2} + b^{2} = 4$ . Interpréter géométriquement.
Montrer que $(a + b)^{2} = 4 + 2 ab$ . En déduire que $a + b \geq 2$ , et préciser les points $M$ pour lesquels l'égalité a lieu.
Montrer que $(a + b)^{2} \leq 2 (a^{2} + b^{2})$ , puis que $a + b \leq 22$ , avec égalité si et seulement si $a = b$ .
Déterminer les points $M$ du cercle unité tels que $M A = M B$ . Conclure : quelles sont la plus petite et la plus grande valeur de $M A + M B$ lorsque $M$ parcourt le cercle unité ?

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

Somme de deux distances sur le cercle unité

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