Un quotient toujours réel

Un quotient toujours réel. Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes de module $1$ tels que $z{z}^{\prime }\ne -1$. On pose :

$$Z=\frac{z+z^{\prime }}{1+z{z}^{\prime }}$$

• En utilisant la relation $\bar{z}=\frac{1}{z}$, valable pour $z\in \mathbb{U}$, montrer que $Z$ est un nombre réel.
• Application : vérifier que $z=\mathrm{i}$ et $z^{\prime }=\frac{3+4\mathrm{i}}{5}$ sont de module $1$, puis calculer $Z$.
• On écrit $z=e^{\mathrm{i}a}$ et $z^{\prime }=e^{\mathrm{i}b}$ avec $a$ et $b$ réels. Montrer que $e^{\mathrm{i}a}+e^{\mathrm{i}b}=2\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)e^{\mathrm{i}\frac{a+b}{2}}$, puis que la condition $z{z}^{\prime }\ne -1$ équivaut à $\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\ne 0$ et que :

$$Z=\frac{\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)}{\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)}$$