Une somme pondérée par les coefficients binomiaux

Une somme pondérée par les coefficients binomiaux. Soient $n\ge 1$ un entier et $x$ un réel. On pose :

$$C=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cos (kx)\text{et}S=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\sin (kx)$$

• Montrer que $C+\mathrm{i}S={\left(1+e^{\mathrm{i}x}\right)}^n$.
• Montrer que $1+e^{\mathrm{i}x}=2\cos \left(\frac{x}{2}\right)e^{\mathrm{i}\frac{x}{2}}$.
• En déduire que $C=2^n{\cos }^n\left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{nx}{2}\right)$ et $S=2^n{\cos }^n\left(\frac{x}{2}\right)\sin \left(\frac{nx}{2}\right)$.
• Que donne la formule pour $x=0$ ? pour $x=\pi$ ?
• Calculer $\sum _{k=0}^6\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)\cos \left(\frac{k\pi }{3}\right)$ à l'aide de la formule, puis vérifier par un calcul direct.