mathématiques MPSI · Chapitre 16 · Application directe du cours

Dériver une intégrale à borne variable

Intégration · D. Théorème fondamental et suites d'intégrales · niveau 2

Énoncé

Justifier que $G : x \mapsto \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ est dérivable sur $R$ et calculer $G^{'}$ .

Corrigé

$e^{- t^{2}}$ est continue : elle admet une primitive $F$ (théorème fondamental), et $G = F \circ (x \mapsto x^{2}) - F (0)$ : $G^{'} (x) = 2 x e^{- x^{4}} .$ (On dérive $G$ sans connaître de formule pour $F$ — la primitive de $e^{- t^{2}}$ n'est pas exprimable, et pourtant on calcule.)

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