mathématiques MPSI · Chapitre 16 · Application directe du cours

Intégrale nulle d'une fonction positive

Intégration · B. Propriétés de l'intégrale · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ telle que $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ . Montrer que $f = 0$ . Le résultat subsiste-t-il si $f$ est seulement continue par morceaux ?

Corrigé

$f^{2}$ est continue, positive, d'intégrale nulle : $f^{2} = 0$ , donc $f = 0$ . Pour une fonction continue par morceaux, c'est faux (nulle partout sauf en un point). (Cette propriété est exactement ce qui fait de $\int f g$ un produit scalaire au chapitre 15.)

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