mathématiques MPSI · Chapitre 16 · Application directe du cours

Le théorème de la moyenne

Intégration · D. Théorème fondamental et suites d'intégrales · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Montrer qu'il existe $c$ tel que $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f = f (c)$ , puis que $\frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f \to f (x_{0})$ quand $h \to 0$ .

Corrigé

$f$ atteint ses bornes $m$ et $M$ (chapitre 6), et $m \leq μ \leq M$ par croissance de l'intégrale : le TVI fournit $c$ avec $f (c) = μ$ .

Ensuite : $\frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f = f (c_{h})$ avec $c_{h} \to x_{0}$ , et la continuité conclut. (C'est une relecture du théorème fondamental : la dérivée de l'aire, c'est la hauteur.)

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