Rectangles contre trapèzes, chiffrés

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 16 — Intégration · E. Formules de Taylor globales

Énoncé

On approche $I = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ avec $n = 4$ subdivisions. Comparer les erreurs des rectangles (à gauche) et des trapèzes, puis expliquer le phénomène.

Corrigé

Rectangles : $R_{4} = 0, 21875$ , erreur $\approx 0, 115$ . Trapèzes : $T_{4} = 0, 34375$ , erreur $\approx 0, 010$ — onze fois mieux pour le même nombre d'évaluations.

Explication : l'erreur des rectangles décroît en $\frac{1}{n}$ , celle des trapèzes en $\frac{1}{n ^{2}}$ : doubler $n$ divise l'une par 2, l'autre par 4. À budget fixé, l'ordre de la méthode est décisif — la porte d'entrée de l'analyse numérique.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.