mathématiques MPSI · Chapitre 16 · Application directe du cours

Sommes de Riemann classiques

Intégration · C. Sommes de Riemann · niveau 2

Énoncé

Déterminer les limites de $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ et $v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$ .

Corrigé

On fait apparaître $\frac{1}{n} \sum f (\frac{k}{n})$ : $u_{n} \to \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2, v_{n} \to \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4} .$ (On retrouve $u_{n} \to ln 2$ , déjà obtenu au chapitre 5 — deux méthodes, une limite.)

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